Triplets pythagoriciens primitifs
Un triplet pythagoricien est composé de trois entiers naturels non nuls tels que la somme des carrés des deux premiers est égale au carré du troisième, c'est-à-dire qu'ils sont les longueurs (entières) des côtés d'un triangle rectangle. Le plus simple est le fameux (3,4,5). Cette applet explore ces triplets. On appelle primitif un triplet pythagoricien où les trois entiers n'ont pas de facteur commun. Alors, il correspond à un point rationnel du cercle unité.
Vous pouvez bouger le point rouge qui explore des points rationnels du cercle trigonométrique, ce qui vous montre une mise à l'échelle du triangle rectangle à côtés entiers associé.
Ce point rationnel est l'intersection du cercle avec la droite (orange) passant par -1, qui est de pente rationnelle. Elle passe donc par un entier de Gauß a+ib, autre que -1, un complexe à la partie réelle et la partie imaginaire entière (dessiné en orange si vous dézoomez assez).
L'angle en -1 est la moitié de l'argument du complexe rouge en question, qui est l'angle au centre du cercle trigonométrique. Par conséquent, le carré de l'entier de Gauß (1+a)+ib est un entier de Gauß dont la normalisation sur le cercle trigonométrique est le point rouge en question.
L'ensemble des pentes rationnelles intersecte le cercle unité en l'ensemble des points rationnels, donc tous les triplets pythagoriciens primitifs proviennent du carré d'un entier de Gauß.
Vous pouvez modifier n, qui commande l'exploration des entiers de Gauss d'affixe jusqu'à n. Si vous dézoomez, vous pouvez visualiser les carrés de ces entiers de Gauss, qui correspondent à des triplets pythagoriciens. On les réduit ensuite pour éliminer leurs facteurs communs, ce qui donne un point rationnel du cercle trigonométrique.