Teorema di Rolle - Enunciato e dimostrazione
Enunciato
Sia y=f(x) una funzione e l'intervallo [a,b]D(f), tale che
- f è continua nell'intervallo chiuso [a,b]
- f è derivabile nell'intervallo aperto ]a,b[
- f(a)=f(b)
Significato geometrico
La validità del Teorema di Rolle garantisce l'esistenza di almeno una retta tangente alla curva parallela all'asse X.
Dimostrazione
La dimostrazione si divide in due casi:
1) Supponiamo che la funzione sia costante in [a,b], ovvero . In questo caso si ha che , quindi il teorema è verificato.
2) Se la funzione non è costante esisteranno degli tale che .
Per ipotesi la funzione è continua nell'intervallo chiuso , quindi valgono le ipotesi del Teorema di Weierstrass, ovvero la funzione ammette massimo e minimo assoluti in .
In particolare, nel caso in cui il massimo sia agli estremi, che per ipotesi assumono lo stesso valore della funzione, il minimo dovrà essere un altro valore interno all'intervallo, e viceversa.
Pertanto in cui la funzione assume un massimo o un minimo assoluto.
Ma, visto che per ipotesi nell'intervallo aperto la funzione è derivabile, per il Lemma di Fermat in quel punto estremale la derivata si annulla, ovvero ricapitolando
che è la tesi del Teorema.
Attività
Variando n verifica la tesi del Teorema di Rolle con differenti grafici