Puntos aleatorios en un segmento
Problema 1 de 3:
Se coloca un punto al azar en un segmento unitario. Este divide al segmento en dos partes. ¿Cuál es la logitud promedio de la parte más corta? ¿Y la de la parte más larga? ¿Cuál es el valor esperado de la razón entre las longitudes del segmento más corto y del más largo?
(Extraídos de Cut the Knot: Probability Riddles de Alexander Bogomolny)
Esta actividad se incluye en el capítulo de Probabilidad Geométrica del libro Probabilidad: simulaciones y problemas
Simulación:
Experimenta con la simulación y contesta:
- Describe lo que ves y explica su relación con el enunciado del problema. Anota el valor obtenido en esa primera simulación para x, para la parte más corta, la larga y las razones entre ambas.
- Pulsa el botón "Simular otra" y observa los cambios. Explica qué es lo que se representa en cada una de las cuatro gráficas de la parte inferior.
- Realiza hasta 10 simulaciones ¿Te atreves a hacer una estimación de los valores promedio esperables para la parte más corta y la más larga? ¿Y para cada una de las razones entre ellas?
- Utiliza el botón play para repetir simulaciones más rápidamente. Tras 200 o más simulaciones, ¿corregirías algunas de tus estimaciones anteriores?
- ¿Qué relación habrá entre los valores pedidos en el problema y las áreas que se van sombreando en cada una de las cuatro gráficas? ¿Por qué?
- Calcula esas áreas (mediante integrales es posible en los cuatro casos).
Problema 2 de 3:
Dos puntos aleatorios (elegidos de manera uniforme e independiente) en un segmento unitario, dividen el segmento en tres partes. ¿Cuál es la longitud promedio del segmento izquierdo?
Simulación:
Experimenta con la simulación y contesta:
- Describe lo que ves y explica su relación con el enunciado del problema. Anota el valor obtenido en esa primera simulación para el segmento de la izquierda.
- Pulsa el botón "Simular otra" y observa los cambios. Explica qué es lo que se representa en la gráfica de la derecha.
- Realiza hasta 10 simulaciones ¿Te atreves a hacer una estimación del valor promedio esperado?
- Utiliza el botón play para repetir simulaciones más rápidamente. Tras 200 o más simulaciones, ¿a qué valor promedio crees que se aproxima?
- Pulsa en "Ver ayuda" y describe la pirámide cuyas aristas aparecen en la gráfica. (Si clicas sobre el botón secundario y arrastras, podrás modificar la perspectiva desde la que observar esa gráfica)
- ¿Qué relación habrá entre su volumen y el valor pedido en el problema? ¿Por qué? ¿Cuánto vale es ese volumen?
Problema 3 de 3:
Dos puntos aleatorios (elegidos de manera uniforme e independiente) en un segmento unitario, dividen el segmento en tres partes. ¿Cuál es la longitud promedio de la parte más corta de las tres?
Simulación:
Experimenta con la simulación y contesta:
- Describe lo que ves y explica su relación con el enunciado del problema. Anota el valor obtenido en esa primera simulación para el menor de los tres segmentos.
- Pulsa el botón "Simular otra" y observa los cambios. Explica qué es lo que se representa en la gráfica de la derecha.
- Realiza hasta 10 simulaciones ¿Te atreves a hacer una estimación del valor promedio esperado?
- Utiliza el botón play para repetir simulaciones más rápidamente. Tras 200 o más simulaciones, ¿a qué valor promedio crees que se aproxima la longitud de esa parte menor de las tres?
- Pulsa en "Ver ayuda" y describe las pirámides cuyas aristas aparecen en la gráfica. (Si clicas sobre el botón secundario y arrastras, podrás modificar la perspectiva desde la que observar esa gráfica)
- ¿Qué relación habrá entre la suma de sus volúmenes y el valor pedido en el problema? ¿Por qué? ¿Cuánto vale esa suma de los dos volúmenes?