Unterrichtsplanung - Simulation und Modellbildung. Eine Epidemie im Klassenzimmer.
Kurzinformation
- Thema: Modellbildung, rekursive Darstellung von Folgen
- ab 10. Schulstufe, Mathematik (auch als Projekt in Kombination mit Biologie zum Thema Ausbreitung von Viren/Krankheiten möglich)
- Dauer: 3 Unterrichtseinheiten
- Material: - SchülerInnenmaterial - LehrerInnenmaterial
- Spezielles: - Würfel - Spielkärtchen laut Vorlage in ausreichender Anzahl (Kopiervorlage reicht für 10 Personen) - Laptops mit Tabellenkalkulation
Vorwissen und Voraussetzungen
Die Schülerinnen und Schüler ...
- ... kennen die verschiedenen Funktionstypen und wissen über deren Eigenschaften Bescheid. - Lineare Funktionen - Potenzfunktionen - gebrochen rationale Funktionen - Polynomfunktionen - Exponentialfunktionen - Logarithmusfunktionen - Winkelfunktionen
- ... wissen, über Folgen Bescheid und können mit deren rekursiver Darstellung arbeiten.
- ... kennen den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der relativen Häufigkeit ihres Auftretens in einer genügend großen Stichprobe.
Lernergebnisse und Kompetenzen
Die SchülerInnen ...
- ... können aus gegebenen Daten ein mathematisches Modell erstellen.
- ... wissen, dass Modelle immer eine Näherung der Realität darstellen.
- ... wissen, wozu man Simulationen einsetzt und dass dafür ein mathematisches Modell nötig ist.
- ... können rekursive Folgen für große Zahlen mit einer Tabellenkalkulationssoftware berechnen.
Unterrichtsablauf
In den folgenden Unterrichtseinheiten, die jeweils in einzelne Aktivitäten gegliedert sind, sollen die Schülerinnen und Schüler den Verlauf einer Epidemie anhand eines Spiels in Gruppen zu jeweils ca. 10 Schülerinnen und Schülern simulieren. Anschließend sollen die gewonnenen Daten in Partnerarbeit durch ein mathematisches Modell beschrieben werden.
Falls es Gruppen gibt, die mit dem Entwickeln des Modells zu den Daten aus ihrem Spiel früher fertig sind, gibt es natürlich eine Zusatzaufgabe: Die Schülerinnen und Schüler bekommen Daten zur zeitlichen Entwicklung des aktuellen SARS-CoV 2 in Österreich. Sie sollen dann die Parameter gegebener Modelle an die Daten anpassen und so eine Prognose für den Verlauf der Pandemie in einem gegebenen Zeitraum erstellen. Ihre Prognose sollen sie dann mit den tatsächlichen Infektionszahlen in dieser Zeit vergleichen.
In der an die Präsentation der Ergebnisse anschließende Diskussion sollen die unterschiedlichen Modelle aus der Partnerarbeit verglichen werden. Falls es Gruppen gibt, die die Zusatzaufgabe bearbeitet haben, sollen die Vorhersagen der Infektionsfälle besprochen und mit den tatsächlichen Zahlen für den vorhergesagten Zeitraum verglichen werden.
Wichtig ist, in der Diskussion hervorzuheben, dass für die Bildung von mathematischen Modellen und die Durchführung von Simulationen immer Annahmen zu treffen sind und die Realität vereinfacht abgebildet wird. Deshalb stellen sie immer nur eine Näherung der Realität dar.
Unterrichtseinheit 1
Aktivität 1 - Spiel "Simulation einer Epidemie im Klassenzimmer" (30 min)
Die Schülerinnen und Schüler sollen in Gruppen zu ca. 10 Personen ein Spiel durchführen, um ein Gefühl zu bekommen, wie sich Epidemien ausbreiten und Daten zu generieren, aus denen in der folgenden Aktivität ein mathematisches Modell erstellt wird.
Material für die Aktivität:
- 1 Würfel für jede Schülergruppe
- 1 Ausdruck des PDFs mit der Spielanleitung, den Spielkärtchen und dem Aufzeichnungsblatt pro Schülergruppe
Spielanleitung, Spielkärtchen und Aufzeichnungsblatt
Aktivität 2 - Arbeitsauftrag zum Spiel "Simulation einer Epidemie im Klassenzimmer" (20 min)
Die Daten, die im Spiel in der vorherigen Einheit gewonnen wurden, sollen nun mithilfe der Ergebnisse aus der Hausübung zu einem mathematischen Modell weiterverarbeitet werden.
Dazu werden die Schülerinnen und Schüler in Zweiergruppen eingeteilt. Am besten kombiniert man dabei die Schüler nach ihrer Leistung. So können die Gruppen, in denen sich zwei in Mathematik begabtere Schülerinnen oder Schüler befinden, weitestgehend alleine an den doch eher offenen Aufgabenstellungen arbeiten, während man als Lehrkraft die Gruppen, in denen sich jene befinden, die sich in Mathematik schwerer tun, gezielt unterstützen kann.
Wenn man sieht, dass es Probleme beim Ermitteln der Übergangsraten zwischen den einzelnen Gruppen gibt, dann kann man den Schülerinnen und Schülern als Hilfestellung folgende Raten bekanntgeben:
Übergangsrate von Gesund zu Krank:
Übergangsrate von Krank zu Gesund:
Übergangsrate von Krank zu Tot:
Material:
- Arbeitsauftrag
- Lösungsvorschlag
Hausübung
Als Hausübung sollen die Schülerinnen und Schüler die aus dem Spiel gewonnenen Daten grafisch aufbereiten, sodass die Daten aus dem Spiel in die am Ende stattfindende Präsentation eingebaut werden können.
Im folgenden PDF finden Sie einen Lösungsvorschlag für Aktivität 1 und die anschließende Hausübung.
Arbeitsaufträge zum Spiel "Simulation einer Epidemie im Klassenzimmer"
Lösungsvorschlag zu Aktivität 1 und zur Hausübung
Unterrichtseinheit 2
Aktivität 3 Fortsetzung - Arbeitsauftrag zum Spiel "Simulation einer Epidemie im Klassenzimmer" (50 min)
Die Schülerinnen und Schüler sollen den Arbeitsauftrag aus der vorangegangenen Unterrichtseinheit fertig machen und sich auf die anschließenden Präsentationen vorbereiten.
Falls es Gruppen gibt, die früher fertig sind, so können diese sich mit der Zusatzaufgabe auseinandersetzen. Darin sollen sie verschiedene Modelle über eine gegebene Datenmenge (Zeitliche Entwicklung der an SARS-CoV 2 infizierten Personen in Österreich) gelegt werden und mit einem der Modelle soll eine Prognose für die zukünftige Entwicklung der Infektionszahlen gemacht und mit den tatsächlichen Zahlen im gegebenen Zeitraum verglichen werden.
Material:
- ev. Zusatzaufgabe (s.u.)
- Lösungsvorschlag zu den Arbeitsaufträgen zum Spiel
Zusatzaufgabe
Lösungsvorschlag zu den Arbeitsaufträgen zum Spiel
Unterrichtseinheit 3
optionale Aktivität - Arbeitsauftrag zum Spiel "Simulation einer Epidemie im Klassenzimmer" (20 min)
Falls die Schülerinnen und Schüler noch Zeit brauchen, um den Arbeitsauftrag zum Spiel "Simulation einer Epidemie im Klassenzimmer" fertigzustellen und sich auf die Präsentation vorzubereiten, kann man den Schülern noch 20 min Zeit dafür geben.
Aktivität 4 - Präsentation der Ergebnisse (30 min bis 50 min)
Wie schon im Arbeitsauftrag zu Aktivität 4 angekündigt, sollen die Schülerinnen und Schüler ihre Modelle der Klasse präsentieren. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler erklären, was sie in ihrem Modell berücksichtigen und was sie im Rahmen der Näherung weggelassen haben. Außerdem sollen in einer anschließenden Plenumsdiskussion die Unterschiede in den einzelnen Lösungen besprochen und ihre Vor- und Nachteile erörtert werden.
Mögliche Leitfragen für die Diskussion sind zum Beispiel:
- Was habt ihr bei der Beschreibung des Ansteckungsprozesses (Übergang gesund zu krank) berücksichtigt?
- Wie seid ihr auf den Prozentsatz derjenigen gesunden Personen gekommen, die sich nach einem Zusammentreffen mit einer erkrankten Person tasächlich anstecken?
- Glaubt ihr, dass euer Modell die Realität gut/genau/exakt abbildet? Begründet eure Entscheidung.
Sicherung
Die Ergebnisse der Diskussion können an der Tafel gesammelt und von den Schülern anschließend ins Heft übertragen werden.
Eine andere Möglichkeit wäre, das Tafelbild am Ende der Diskussion zu fotografieren und den Schülerinnen und Schülern dann über eine Lernplattform (z.B. Moodle) zur Verfügung zu stellen.
Zusätzliche Materialien:
Aktivität - Lehrerinput zum Thema Modellbildung und Simulationen in der Mathematik (10 min)
Die Lehrperson erarbeitet gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern - am besten an einem Beispiel aus der Realität - was Simulationen sind, welche Rolle die Modellbildung dabei spielt und warum man Simulationen überhaupt braucht.
Wichtige Leitfragen, die dabei beantwortet werden sollen, sind:
- Was sind Simulationen?
- Wozu dienen Simulationen?
- Was kann man simulieren?
- Wo ist die Mathematik in Simulationen versteckt?
LehrerInnen-Infoblatt
Links zu Materialien und Quellen
Quellen:
- Greefrath, G. & Weigand, H.-G. (2012). Simulieren: Mit Modellen experimentieren. mathematik lehren(174), 2–6.
- Ableitinger, C. & Hilgers, A. (2012). Vorsicht, ansteckend!: Simulation einer Epidemie im Klassenzimmer. mathematik lehren(175), 41–45.
- Ableitinger, C. & Hilgers, A. (2012). Arbeitsblatt: Simulation einer Epidemie im Klassenzimmer. Friedrich Verlag GmbH. https://www.friedrich-verlag.de/fileadmin/fachwelten/mathematik/blog-downloads/ml175_Epidemie_AB_Mat.pdf (Zugriff am 02.05.2020)
- Hans-Jürgen Elschenbroich. Logistische Wachstumskurven. https://www.geogebra.org/m/cfammtpe#material/tzzxkeq5 (Zugriff am 02.05.2020)
- Hans-Jürgen Elschenbroich. SIR-Modell (a). https://www.geogebra.org/m/cfammtpe#material/sctvscyv (Zugriff am 02.05.2020)
- Hans-Jürgen Elschenbroich. SIRD-Modell. https://www.geogebra.org/m/cfammtpe#material/f5tj4nnb (Zugriff am 02.05.2020)
- statista. (2020). Entwicklung der Coronavirus-Epidemie (COVID-19) in Österreich seit Februar 2020. https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1101412/umfrage/entwicklung-der-fallzahlen-des-coronavirus-in-oesterreich/ (Zugriff am 02.05.2020)
- qimono: Virus Cells in green dye. https://www.goodfreephotos.com/albums/other-photos/virus-cells-in-green-dye.jpg (Zugriff am 02.05.2020)
- Corona: Modelle und Simulation im Mathematikunterricht
- Weitere Beispiele für die Verwendung von Simulationen im Mathematikunterricht: Maaß, J. & Siller, H.-S. (Hg.). (2014). ISTRON-Schriftenreihe. Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Springer Spektrum.