Propositie 14
Als twee aanliggende hoeken samen 180° zijn (twee rechte hoeken vormen), dan liggen de twee buitenste benen op één rechte.
Inleiding
Propositie 14 is de omgekeerde van propositie 13. Propositie 13 bewijst dat een rechte lijn op een andere rechte lijn altijd nevenhoeken van samen 180° vormt. In Propositie 14 bewijst Euclides het omgekeerde: als de aanliggende hoeken samen 180° zijn, liggen de twee hoeken op één rechte lijn. Het bewijs verloopt opnieuw via een bewijs uit het ongerijmde.
Oude versie
Als vanuit een punt op een rechte lijn twee rechte lijnen aan verschillende zijden de nevenliggende hoeken samen gelijk maken aan twee rechte hoeken, dan liggen die twee rechte lijnen in elkaars verlengde.
AB is een rechte lijn en B een punt daarop. Laat de twee rechte lijnen BC en BD aan verschillende zijden de nevenliggende hoeken ABC en ABD samen gelijk maken aan twee rechte hoeken. Ik zeg dat BD in het verlengde ligt van CB.
Als BD niet in het verlengde ligt van BC, laat dan BE in het verlengde liggen van CB.
Omdat de rechte lijn AB staat op de rechte lijn CBE, zijn de hoeken ABC en ABE samen gelijk aan twee rechte hoeken. (prop 13)
Maar de hoeken ABC en ABD zijn ook samen gelijk aan twee rechte hoeken. Dus zijn de hoeken CBA en ABE gelijk aan de hoeken CBA en ABD. (post 4 en ai 1)
Trek de hoek CBA af van elk. Dus is de resterende hoek ABE gelijk aan de resterende hoek ABD. (ai 3)
De kleinste aan de grootste: wat onmogelijk is. Dus ligt BE niet in het verlengde van CB. Op dezelfde manier kunnen we bewijzen dat geen enkele andere rechte lijn dan BD in het verlengde ligt van CB.
Dus ligt CB in het verlengde van BD.