A raiz de um problema pitagórico
Problema:
Achar a medida da hipotenusa "AB" de um triângulo retângulo isósceles tomando um cateto como unidade de medida.
Admite-se que este triângulo tenha lado igual a 1 unidade.
Pelo teorema de pitágoras, tem-se que a hipotenusa deste triângulo é dada por:
AB² = OA² + OB²
Se OA = OB =1 então, podemos reescrever a equação,
AB² = 2.OA² AB² = 2 AB =
Como vimos, existe um segmento AB que, segundo o teorema de Pitágoras, deve corresponder a um número cujo quadrado é 2, o famoso raiz de 2.
Será que poderiamos obter uma expressão decimal através da reta numérica para este número?
Tente buscar uma expressão fracionária para a raiz de 2 com o auxílio da construção abaixo.
Perceba na construção a representação da raiz de 2 na reta numérica. Escolhendo valores para n, é possível subdividir um pedaço da reta numérica em múltiplos de uma fração da unidade.
Pelo teorema de pitágoras, tem-se que a hipotenusa deste triângulo é dada por:
AB² = OA² + OB²
Se OA = OB =1 então, podemos reescrever a equação,
AB² = 2.OA² AB² = 2 AB =
Como vimos, existe um segmento AB que, segundo o teorema de Pitágoras, deve corresponder a um número cujo quadrado é 2, o famoso raiz de 2.
Será que poderiamos obter uma expressão decimal através da reta numérica para este número?
Tente buscar uma expressão fracionária para a raiz de 2 com o auxílio da construção abaixo.
Perceba na construção a representação da raiz de 2 na reta numérica. Escolhendo valores para n, é possível subdividir um pedaço da reta numérica em múltiplos de uma fração da unidade. Por exemplo, fazendo n = 2 vemos que a raiz de 2 está entre 1 e 2. Para n = 3 a raiz está entre 4/3 e 5/3. Para n = 10 vemos que raiz de 2 é um pouco maior do que 14/10 e menor que 15/10. Para n = 12, vemos que raiz de 2 está bem próximo de 17/12, só um pouco menor.
Veja o que acontece quando n = 17? Será que podemos deduzir que raiz de 2 é 24/17?
Se raiz de 2 não coincidir com 24/17 tente outros valores para n. Veja, por exemplo n = 58. Faça o seguinte, escolha valores grandes para n, bem grandes. Veja o que acontece com o segmento representado por 2. O segmento fica preenchido por pontos, não? Então, a raiz de 2 vai coincidir com um destes pontos, não? Para tirar a dúvida, use o recurso de ampliação. Ah, lembre-se que você sempre pode escolher valores cada vez maiores para n.
Você concorda que é difícil perceber se a raiz de 2 pode ser representada por um número racional ou não? O que sua intuição diz, parece que podemos encontrar um valor para n, suficientemente grande, que finalmente fornecerá uma representação fracionária para a raiz de 2? Ou estamos diante de um novo tipo de número?