Monotonieverhalten von Funktionen
Ziel
In dieser Aufgabe lernst du, wie man das Monotonieverhalten einer Funktion mithilfe der ersten Ableitung bestimmt. Du wirst außerdem Fragen beantworten, um dein Wissen zu überprüfen und sicherzustellen, dass du die Schritte verstehst.
Die Bedeutung der ersten Ableitung
Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Änderungsrate der Funktion an. Anhand der Ableitung kann das Monotonieverhalten – also das Steigen oder Fallen der Funktion – bestimmt werden:
- Wenn , dann ist die Funktion in diesem Intervall streng monoton steigend.
- Wenn , dann ist die Funktion in diesem Intervall streng monoton fallend.
- Wenn , liegt möglicherweise ein Extrempunkt vor.
Was bedeutet es, wenn für ein Intervall gilt?
Beispiel – Bestimme das Monotonieverhalten
Betrachten wir die Funktion . Gehe die folgenden Schritte durch, um das Monotonieverhalten zu bestimmen:
1. Ableitung berechnen:
Berechne für die gegebene Funktion.
2. Nullstellen der Ableitung finden:
Setze und löse nach auf, um Nullstellen zu finden.
3. Intervalle bestimmen:
Teile die x-Achse in Intervalle, die durch die Nullstellen begrenzt werden.
4. Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen untersuchen:
Überprüfe das Vorzeichen von in jedem Intervall, um festzustellen, ob die Funktion steigt oder fällt.
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten einer Funktion anhand der ersten Ableitung?
Welche Bedeutung hat es, wenn die Ableitung einer Funktion in einem Intervall negativ ist?
Übungsaufgabe
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion mithilfe der folgenden Schritte:
1. Berechne die erste Ableitung .
2. Finde die Nullstellen von .
3. Teile die x-Achse in Intervalle ein und untersuche das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall.
4. Bestimme, in welchen Intervallen die Funktion streng monoton steigend oder fallend ist.