Rectangle
- Auteur :
- Jean Roussie
Définition
Un rectangle est un quadrilatère dont tous les angles sont des angles droits :
Le mot rectangle est constitué du préfixe rect qui vient du latin Rectus et signifie Droit suivi d'angle.
Parallélogramme
Le rectangle est un parallélogramme. Il en possède donc toutes les propriétés.
Justification :
Les angles entre deux côtés adjacents d'un rectangle sont des angles droits,
or deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles,
donc les côtés opposés d'un rectangle sont parallèles.
Un rectangle est donc, par définition, un parallélogramme.
Propriété : Parallélograme ayant un angle droit
Un parallélogramme qui possède au moins un angle droit est un rectangle.
Justification :
Les angles opposés d'un parallélogramme ont la même mesure, notre parallélogramme a donc deux angles droits opposés.
Si l'on partage en deux notre parallélogramme par la diagonale qui relie les deux angles droits, on obtient deux triangle dont la somme des angles coupés, pour des raisons de symétrie centrale, est 90°.
Le troisième angle des triangles formes est donc un angle droit.
Le parallélogramme possède donc tous ses angles droits, c'est par définition un rectangle.
Symétries d'un rectangle
Un rectangle possède un centre de symétrie et deux axes de symétrie, ses médianes.
Et réciproquement :
Un quadrilatère dont les médianes sont des axes de symétries est un rectangle.
Justification :
- Centre de symétrie : Le rectangle est un parallélogramme
- Axes de symétrie : Si l'on partage un rectangle par sa médiane, on obtient deux rectangles identiques. La médiane est la médiatrice des cotés qu'elle partage, c'est donc un axe de symétrie du rectangle.
- Réciproque : Si une quadrilatère possède ses médianes comme axes de symétrie, celles-ci sont perpendiculaires et le divisent en quatre parallélogramme identiques dont un angle est droit. Ce sont donc des rectangles identiques qui, assemblés forment aussi un rectangle.
Diagonales d'un rectangle
Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leurs milieux.
Et réciproquement
Un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur et se coupent en leurs milieux est un rectangle.
Justification :
- Les diagonales sont symétriques par rapport aux médianes , elles ont donc la même longueur. Le rectangle est un parallélogramme, ses diagonales se coupent donc en leurs milieux.
- Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leurs milieux est un parallélogramme. Un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur possède leurs bissectrices comme axes de symétrie, c'est donc un rectangle.