Gruppe der Möbius-Transformationen

Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (29.09.2020)

Die reelle ebene Möbiusgeometrie handelt von Punkten, Kreisen und Geraden, von Schnittpunkten, von Winkeln zwischen Kreisen und der Lage von Punkten zu Kreisen. Vieles davon kennt man aus der ebenen euklidischen Geometrie und kann mit den Hilfsmittel von geToolbar Imagegebra einfach und erhellend erkundet werden. Mit der Spiegelung an Kreisen Toolbar Image verläßt man klickartig die euklidische Welt und landet in der Kreisgeometrie. Als erstes muss man sich von den gewohnten Geraden verabschieden: aus Geraden werden allermeist nach einer Inversion an einem Kreis - Kreise! Auch fällt auf, dass eine Kreisspiegelung fast bijektiv ist: nur der Kreismittelpunkt findet kein Bild und kein Urbild! Kreise schneiden sich, wenn sie es tun, meist in 2 Punkten, Geraden aber nur in höchstens einem. Alle diese Lücken lassen sich ganz einfach schließen: ein einziger zusätzlicher Punkt erweist sich als Schnittpunkt aller Geraden, sogar die zuvor parallelen Geraden gehen durch diesen Punkt; und Kreisspiegelungen vertauschen den Kreismittelpunkt mit diesem Punkt . Aber! Abstände zwischen Punkten gibt es nun nicht mehr. Dafür kann man weiterhin Winkel zwischen Kreisen - zu denen nun die ehemals Geraden gehören - messen! Am ehesten klären sich die Verhältnisse, wenn man die Ebene stereographisch auf die Kugel projiziert: Auf der Kugel gibt es keine Geraden, nur Kreise - als Schnitte mit Ebenen: siehe Möbiustransformationen auf der Kugel. Was sind die Transformationen dieser Geometrie? Die ebenen euklidischen Abbildungen gehören weiterhin dazu. Hinzu kommen die Streckungen von einem Punkt aus ("äquiforme Geometrie"!) und die Kreisspiegelungen.
Eine Antwort sind die gebrochen linearen Abbildungen der um erweiterten GAUSSschen Zahlenebene .
  • mit und ; die gleichsinnige Möbiustransformation ist bis auf gemeinsame komplexe Vielfache von eindeutig festgelegt.
Verknüpft man diese gleichsinnigen Möbiustransformationen mit der Spiegelung , so erhält man alle Möbiustransformationen. Eine andere Antwort auf die obengestellte Frage liefert die book-Seite als Möbiusgruppe. Eine wichtige numerische Invariante der Möbiustransformationen ist das komplexe Doppelverhältnis von 4 Punkten:
Diese Invariante ist von der Reihenfolge der Punkte abhängig. Dass das Doppelverhältnis unter gebrochen linearen Abbildungen invariant ist, läßt sich leicht mit geogebra-CAS nachprüfen. Von Hand ist diese Rechnung wegen der vielen Variablen etwas aufwendig - man begegnet dabei immer wieder den seit J. PLÜCKER (1801 - 1868) und H. GRASSMANN (1809 - 1877) bekannten Rechnenregeln für Determinanten. Zu 2 Tripel und von jeweils verschiedenen Punkten gibt es genau eine gleichsinnige Möbiustransformation T, welche die Punkte in dieser Reihenfolge aufeinander abbildet:
  • Löst man die Gleichung mit geogebra-CAS nach auf, so erhält man die Möbiustransformation mit den ziemlich symmetrisch aufgebauten Koeffizienten
    Die Determinante faktorisiert ergibt: , das ist richtig nach Voraussetzung!
Vier verschiedene Punkte liegen auf einem Kreis, wenn ihr Doppelverhältnis reell ist! Möbiustransformationen sind kreis-treu! Jede gleichsinnige Möbiustransformation besitzt genau 2 oder genau einen Fixpunkt - falls es sich nicht um die Identität handelt!
  • Dazu löse man die Gleichung ; zu lösen ist eine komplexe quadratische Gleichung.
Auch mit Hilfe dieser Fixpunkte kann man die gleichsinnigen Möbiustransformationen einteilen:
  • elliptisch: Drehung um die 2 Fixpunkte
  • hyperbolisch: Streckung von dem einen Fixpunkt zum anderen
  • logarithmisch - loxodromisch: Drehstreckung um die beiden Fixpunkte
  • parabolisch: Verschiebung tangential in einer Richtung vom einzigen Fixpunkt aus.
Möbiustransformationen sind bijektive konforme, das heißt winkeltreue Abbildungen der um erweiterten Ebene auf sich. Umgekehrt ist eine jede bijektive konforme Abbildung der reellen Möbiusebene eine Möbiustransformation!