De Onde Vem a Tangente? Uma Atividade Interativa de Demonstração!
O círculo trigonométrico é uma das ferramentas mais poderosas para a visualização e compreensão das funções trigonométricas, estendendo suas definições para além dos triângulos retângulos. Ele permite uma análise dinâmica do comportamento de seno, cosseno e tangente para qualquer ângulo. Nesta atividade, utilizaremos um Mathlet interativo, similar ao da imagem, para investigar a construção geométrica da tangente e deduzir formalmente a identidade trigonométrica fundamental que a relaciona com o seno e o cosseno. O objetivo é transcender a memorização da fórmula e construir uma compreensão rigorosa de sua origem geométrica.
Objetivos de Aprendizagem
- Identificar geometricamente os segmentos que representam o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo no círculo trigonométrico.
- Demonstrar, utilizando o conceito de semelhança de triângulos, a identidade fundamental .
- Analisar o sinal e o comportamento da função tangente nos quatro quadrantes, incluindo seus pontos de descontinuidade, a partir da representação geométrica.
- Conectar a definição geométrica da tangente com sua definição como o coeficiente angular da reta que contém o raio do círculo.
Instruções de Uso do Applet
- O círculo trigonométrico de raio r = 1 centrado na origem O = (0, 0).
- O ponto A = (1, 0), na intersecção do círculo com o eixo x.
- O ângulo β, com vértice na origem.
- O ponto P na circunferência, cujas coordenadas são (cos β, sen β).
- O segmento vertical PJ, cujo comprimento é ∣sen β∣.
- O segmento horizontal OJ, cujo comprimento é ∣cos β∣.
- A reta t, que é tangente ao círculo no ponto A = (1, 0).
- O ponto T, intersecção do prolongamento do raio OP com a reta tangente t.
- O segmento AT, cuja medida orientada representa a tg β.
3) Explore: Movimente o seletor (ou o ponto P) para variar o ângulo β. Observe atentamente como os comprimentos e os sinais dos segmentos que representam sen β, cos β e tg β se alteram.
A partir da investigação no Mathlet, responda as seguintes questões:
Questão 1: Quadrante I (0º < β < 90º):
O que acontece com os valores de sen β, cos β e tg β à medida que β aumenta de 0º para 90º? Descreva se são crescentes ou decrescentes e seus sinais.
Questão 2:
a) Qual é o valor de tg(0º)?
b) O que acontece com o comprimento do segmento AT quando β se aproxima de 90º?
c) Como isso se relaciona com o conceito de assíntota vertical?
Questão 3: Quadrante II (90º < β < 180º ):
Observe que para formar o ponto T, o raio OP precisa ser prolongado "para trás". Qual é o sinal de cos β neste quadrante? E o de sen β?
Questão 4:
Com base na posição do ponto T (acima ou abaixo do eixo x), qual é o sinal de tg β? A relação de sinais entre as três funções parece se manter?
Questão 5: Quadrantes III e IV (180º < β < 360º):
Complete a análise de sinais para os quadrantes III e IV. Construa uma tabela que resuma o sinal de sen β, cosβ e tg β em cada um dos quatro quadrantes.
Agora, vamos formalizar a observação principal da atividade?
1) A Prova Fundamental: A imagem apresenta a pergunta: "Explique o por quê?". Sua tarefa é fornecer uma prova geométrica rigorosa para a identidade . Dica: Foque nos triângulos △OPJ e △OAT para um ângulo β no primeiro quadrante e siga os seguintes passos: a) Prove que △OPJ∼△OAT (semelhantes). Justifique qual caso de semelhança se aplica.
b) Utilizando a propriedade de semelhança de triângulos, estabeleça a proporção entre os lados correspondentes.
c) Substitua os comprimentos dos lados pelas funções trigonométricas que eles representam (OA = 1, OP = 1, PJ = sen β, OJ = cos β, AT = tg β) e isole o termo tg β para completar a demonstração.
2) Conexão com Geometria Analítica:
a) Qual é o coeficiente angular (declive) da reta que passa pela origem O e pelo ponto P(cos β, sen β)?
b) Como esse valor se relaciona com tg β?
c) Explique por que a tangente de um ângulo é, fundamentalmente, uma medida da inclinação da reta.
3) Generalização: A demonstração por semelhança de triângulos que você realizou no item 1 é válida para ângulos nos outros quadrantes? Discuta como a noção de "comprimentos orientados" (segmentos com sinal positivo ou negativo) permite que a mesma relação geométrica permaneça válida para qualquer valor de β onde o cosseno não seja nulo.