Wechselstromwiderstände und komplexe Zahlen

Anstelle als Beispiel innerhalb des Abschnitts zu den komplexen Zahlen werden wir uns den Wechselstromwiderständen in zwei gesonderten Abschnitten widmen. Das lohnt sich, denn dieses Thema stellt eine hervorragende Anwendungsmöglichkeit der komplexen Zahlen dar. Außerdem möchte ich Aspekte im Umgang mit dem Oszilloskop ansprechen. Das ist zwar weniger Mathematik, ist für die Physik aber auch von Bedeutung. In diesem Abschnitt liegt daher eine einfache Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und einem Wechselstromwiderstand vor. Diese ist die Grundschaltung für Untersuchungen von elektronischen Bauteilen mit dem Oszilloskop. Im Applet haben die elektronischen Bauteile und die grafische Darstellung im Koordinatensystem jeweils die gleiche Farbe. Die Spannung am Wechselstromwiderstand habe ich an einigen Stellen mit gekennzeichnet, da reine Wechselstromwiderstände anstelle von R mit X bezeichnet werden.

In den Grundeinstellungen des Applets ist eine mögliche zeitliche Abhängigkeit der Spannung am ohmschen Widerstand R dargestellt. Auf der Rechtsachse ist die Zeit abgetragen, auf der Hochachse die Spannung, hier als Sinusfunktion. Am realen Oszilloskop wird diese Darstellung damit erreicht, dass man die Spannung an einen der Eingänge legt und die Ablenkung in x-Richtung intern vom Gerät so steuern lässt, dass am Bildschirm ein mit der Zeit wachsender x-Wert periodisch beliebig oft angezeigt wird. Sie werden sich wundern, warum nirgends die Stromstärke erwähnt wird. Diese braucht es nicht. Man kann ihre Maßzahl zu jeder Zeit mit berechnen. Das ist am Oszilloskop auch unumgänglich, da die Eingänge in der Regel sehr hochohmig sind und sich somit zur Stromstärkemessung nicht eignen. Gezeigt wird hier der Graph einer Funktion mit der Gleichung . Diesen können wir uns auch als Imaginärteil der Funktion mit vorstellen. Die Stromstärke an jeder Stelle der Schaltung ist . Daher ist der Graph die Darstellung des y-Wertes von dem Zeigerspitze, die von den Werten von in Abhängigkeit von der Zeit gebildet wird. Lassen Sie sich den Zeiger anzeigen und starten Sie die Animation. Sie werden sehen, dass sich der Zeiger entgegen dem Uhrzeiger um den Ursprung dreht und damit der Sinus-Graph gezeichnet werden kann. Die Wechselstromwiderstände: Ab hier werden wir anstelle des Terms das Formelzeichen für die Kreisfrequenz verwenden. Sie werden lernen oder haben gelernt, dass der Widerstand einer Spule mit der Induktivität im Wechselstromkreis und der des Kondensators mit der Kapazität beträgt. Aber was bedeutet das für den zeitlichen Verlauf einer angelegten Wechselspannung. Die Beträge machen darüber keine Aussage. Betrachten wir zuerst die ideale Spule (). Die Spannung an ihren Klemmen ist gegengleich zur Induktionsspannung, also ist . Der Faktor ist der induktive Widerstand der Spule als komplexe Zahl. Er wird mit der Stromstärke multipliziert. Geometrisch bedeutet das eine Drehung gegen den Uhrzeiger um 90°. Zur Veranschaulichung schalten Sie die Kontrollkästchen "Spule/Kondensator", "" und "" ein. Sie sehen zunächst, dass bei maximaler Spannung an der Spule noch kein Strom fließt. Seine Stärke steigt erst, wenn die Spannung schon wieder sinkt. Man sagt, die Spannung eilt der Stromstärke voraus. Schalten Sie nun auch das Kästchen "Zeiger" ein. Dann werden die Graphen weniger intensiv dargestellt und die Zeiger werden angezeigt. Sie stehen auch dann orthogonal zueinander, wenn ist. Die rein imaginäre Beschreibung des induktiven Widerstandes ist also recht sinnvoll. Beim Kondensator ist . Damit die Gleichung erfüllt ist, muss sein. Der Faktor ist hier der komplexe kapazitive Widerstand des Kondensators. Die imaginäre Einheit wird hier im Nenner belassen, da sich die Formel leichter merken lässt als die gleichwertige Notation . Anhand zweiter können wir nun jedoch ablesen, dass jetzt die Stromstärke der Spannung vorauseilt. Sie können das auch am Applet überprüfen. Der Pfeil für zeigt für in die negative Richtung der imaginären Achse. Nun fehlt nur noch die Gesamtspannung. Diese ist zu jeder Zeit die Summe aus der Spannung am ohmschen Widerstand und der am Wechselstromwiderstand. Nach der Gleichung für die Summe zweier Sinusfunktionen ist der y-Wert in der grafischen Darstellung am Beispiel der Spule . Das ist das Ergebnis, das man auch bei der Addition der beiden Spannungen bei komplexer Beschreibung erhalten würde. Da zu jeder Zeit die Stellung der Zeiger untereinander gleich bleibt, genügt die Bildung der Summe für . Wir dürfen also wie beim Gleichstromkreis die reellwertigen hier einfach die komplexwertigen Spannungen addieren. Ohne weiteren Nachweis verallgemeinern wir das, indem wir sämtliche Beziehungen, die mit reellen Maßzahlen für den Gleichstromkreis ergeben, auf den Wechselstromkreis übertragen. Dort verwenden wir dann lediglich komplexe Maßzahlen. Für den Gesamtwiderstand bei der Reihenschaltung von Widerstand und Spule gilt so zum Beispiel . Die im Applet nicht gezeigte Parallelschaltung hat den Gesamtwiderstand

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Bestimmung der Phasenverschiebung: Nun zu dem Thema, das weniger mit komplexen Zahlen als mit der Nutzung des Oszilloskops zu tun hat. Tatsächlich habe ich in GeoGebra für die Darstellung der Zeiger komplexe Zahlen genutzt, da sie wirklich sehr komfortabel sind. Schalten Sie im Applet auf xy-Darstellung um. An realen Oszilloskopen gibt es ebenso einen Umschalter so, dass die Spannung an einem Eingang in horizontaler, die am anderen Eingang in vertikaler Richtung dargestellt wird. Bei einer vorliegenden Phasenverschiebung entsteht eine Ellipse. Diese kann zu Messzwecken gut genutzt werden: Seien also zwei Größen und um gegeneinander verschoben, so können sie etwa durch und beschrieben werden. Wenn in x-Richtung und in y-Richtung dargestellt werden, dann ist für der Wert und . Damit lässt sich der Phasenwinkel dadurch bestimmen, dass man an der Ellipse den Wert am Schnittpunkt mit der Achse sowie den Maximalwert abliest. Der Winkel ist dann .