confocal Darboux cyclides 2-sheets
- Autor:
- Walter Füchte
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Darboux Cycliden & bizirkulare Quartiken (10.08.2020) Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 08. August 2020
Eine DARBOUX Cyclide ist eine Fläche, die implizit durch eine Gleichung des Typs bestimmt ist:- mit linearem und quadratischen und reellen Koeffizienten.
- , reell.
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Kreise auf DARBOUX Cycliden:
Doppelt-berührende Kugeln schneiden eine DARBOUX Cyclide in Kreisen, die ganz auf der Fläche liegen.
2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 Scharen doppelt-berührender Kreise. 3 der Scharen liegen auf derselben Seite der Quartik, die 4. Schar liegt auf der anderen Seite.
Aus den 3 Scharen kann man auf 8 verschiedene Weisen 6-Eck-Netze aus Kreisen bilden: Walter Wunderlich "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" (1938 [WUNW]).
Die doppelt-berührenden Kreise der bizirkularen Quartiken auf den Symmetrieebenen der Cycliden lassen sich fortsetzen zu orthogonalen doppelt-berührenden Kugeln.
Auf diesem Wege findet man die Kreise auf DARBOUX Cycliden und die 6-Eck-Netze aus Kreisen auf ihnen: man vergleiche die Aktivität Blaschke's Frage & Darboux Cycliden. Dort wird auf Literatur zu diesem spannenden Thema hingewiesen.
Die doppelt-berührenden Kreise der bizirkularen Quartiken in der -Ebene kann man erkunden mit dem
Kontrollkästchen dbC: Die Brennpunkte können auf 3 verschiedene Weisen Quellpunkte von hyperbolischen Kreisbüscheln sein. Die doppelt-berührenden Kreise, welche nicht orthogonal zur -Achse liegen, sind Winkelhalbierende dieser Büschelkreise.
Unser Deutungsversuch: die aus den linearen Kugelbüscheln gebildeten Wellen überlagern sich. Die Resultierenden winkelhalbierenden Kugelwellen überstreichen die Cycliden in Kreiswellen.
Manche Kreiswellen verschwinden ins Komplexe: dies geschieht wie bei den konfokalen Quadriken in den Schnittpunkten mit den Fokal-Kurven. Vermutlich trifft dies allgemein für DARBOUX Cycliden zu!
Die 6-Eck-Netze aus Kreisen auf DARBOUX Cycliden gehen in den oben beschriebenen Grenzfällen zweilagig in 6-Eck-Netze auf Kugeln über.
Diese Netze sind geau die von Walter Wunderlich beschriebenen "besonderen Dreiecksnetzen aus Kreisen".
Zu diesem Thema sei auf das Kapitel 6-Eck-Netze aus Kreisscharen im geogebra-book "Möbiusebene" hingewiesen.
Unsere Vermutung: 6-Eck-Netze aus Kreisen,
- die keine Geraden-6-Eck-Netze
- und keine Kreis-Netze aus speziellen Büschel-Kreisen sind, wie wir sie im Kapitel 6-Eck-Netze aus Kreisbüscheln aufgelistet
haben
bestehen aus doppelt-berührenden Kreisen einer bizirkularen Quartik.