G 01 A gömbi szerkesztések eszköztára
A gömbi geometria néhány alapfogalma
Mielőtt a gömbi geometria GeoGebra modelljének az itt kifejlesztett, és használatra ajánlott saját eljárásait rendre bemutatnánk, szükségesnek tartjuk az ebben használt alapfogalmak tisztázását. Annak ellenére, hogy feltételezzük: ezek a fogalmak többnyire ismertek olvasóink számára.
Gömbi geometrián a gömb felületen lévő geometriai objektumok (szerkesztések) összességét értjük. A gömbi geometria szempontjából a gömb mérete (sugara) bármekkora lehet.
Gömbi pont: a gömb felületén adott, vagy szerkesztett pont.
Egy gömbi pont átellenes ( antipodális) pontja: a gömbi pontnak a gömb középpontjára vonatkozó tükörképe.
Általában: gömbfelület antipodális alakzatai azok, amelyek egymásnak centrális tükörképei a gömb középpontjára nézve.
Három gömbi pont általános helyzetű, ha síkjuk nem illeszkedik a gömb középpontjára. (Így közülük kettő nem lehet antipodális.)
Gömbi egyenes: A gömb egy főköre. A Gömbi főkör középpontja a gömb középpontja. A gömbi egyenest egyértelműen meghatározza két, egymással nem átellenes pontja.
Gömbi félegyenes: Adott kezdőpontú, és adott belső pontú fél főkörív.
Gömbi szakasz: Két gömbi pont által meghatározott gömbi egyenesnek e két ponthoz - a gömbi szakasz végpontjaihoz - tartozó rövidebbik főköríve. (Így egy gömbi szakasz kisebb mint egy gömbi főkör fele.)
Egy gömbi szakasz hossza: a gömbi szakaszhoz, mint körívhez tartozó középponti szög. Így megadható fokokban, vagy ívmértékben is. Két gömbi szakasz egyenlő, (egybevágó), ha hosszuk megegyezik.
Két gömbi egyenes (félegyenes, szakasz ) merőleges, ha síkjaik merőlegesek egymásra.
Gömbi kör: A gömbfelület bármely olyan síkkal alkotott metszésvonala, amely nem illeszkedik a gömb középpontjára. Három általános helyzetű gömbi pont egyértelműen meghatároz egy gömbi kört. Egy gömbi kör középpontja a gömb középpontjára illeszkedő, és kör síkjára merőleges egyenesnek a gömbbel alkotott metszéspontjainak bármelyike. (E két pont egymás antipodálisa)
Gömbi egyenes, félegyenes, szakasz vagy gömbi kör pólusa olyan gömbi pont, amely a gömbi egyenes, félegyenes, szakasz, kör bármely pontjától egyenlő távolságra van. A pólusra és a gömb középpontjára illeszkedő térbeli egyenes merőleges a gömbi kör, egyenes, félegyenes szakasz síkjára. Minden gömbi egyenesnek szakasznak, körnek két pólusa van. Gömbi kör esetén ezeket a kör gömbi középpontjának is nevezhetjük.
Egy gömbi pont polárisa az a gömbi egyenes, amelyet a pontnak és a vele átellenes pontnak a szimmetriasíkja metsz ki a gömbfelületből. Egy gömb adott pontjára vonatkozó polárisa merőleges az adott pontra illeszkedő bármely gömbi egyenesre.
Gömbkétszög: a gömbfelület két, közös kezdőpontú gömbi félegyenese által határolt, a félgömb felületnél kisebb része.
Gömkétszög szöge: a gömbkétszöget határoló gömbi félegyenesek (fél-főkörívek) síkjainak a szöge. (Ez megegyezik a a csúcsokhoz tartozó érintő félegyenesek szögével.) A gömbkétszögek területeinek aránya megegyezik a szögeik arányával. Így, mivel az (egységnyi sugarú) gömb felszíne 4π, az α szögű gömbkétszög területe α4π/2π = 2α.
Legyen O a tér egy tetszőleges pontja. Három O kezdőpontú nem egy síkban fekvő a, b, c félegyenes egyértelműen meghatározza a konvex (ab)∢ , (bc)∢, (ca)∢ szögeket, amelyek a teret két részre osztják. E térrészek egyike konvex. Ezt nevezzük háromélű konvex triédernek.
Gömbháromszögnek nevezzük a gömbfelületnek azt a részét, amelyet az (alap)gömb felültéből egy olyan háromélű konvex triéder metsz ki, amelynek a csúcsa a gömb középpontja.
Egy gömbháromszög átellenes -antipodális - gömbháromszögén azt a gömbháromszöget értjük, amelynek a csúcsai a csúcsok antipodális pontjai.
Egy gömb-kétszöget határoló két gömbi félegyenes egy-egy pontjához tartozó gömbi szakasz a gömb-kétszöget két gömb-háromszögre bontja. Ezt a két gömb-háromszöget egymás kiegészítő gömb-háromszögének nevezzük. Ez a gömb-háromszögek közötti reláció szimmetrikus.
A G-modell eszköztára
A gömbi geometria alapfogalmainak a megismeréséhez, szemléltetéséhez átnyújtjuk olvasóinknak - a hiperbolikus geometria itt bemutatott P-modelljének az eszköztárához hasonló módon fejlesztett saját GeoGebra eljárások gyűjteményét.
A továbbiakban G-modellnek nevezzük azt az eszköztárat, amely lehetővé teszi, hogy olvasóink önálló szerkesztéseket végezzenek a gömbön, így megismerkedjenek azokkal a gömbi geometriai összefüggésekkel, amelyeket ennek az eszköztárnak a kifejlesztésével igyekeztünk szemléletesé tenni.
A továbbiakban ezeket a G-modellen megadott geometriai fogalmakra a G-pont, G-egyenes G-háromszög ... stb elnevezéseket használjuk, de ha a szövegkörnyezetből egyértelműen kitűnik, olykor el is hagyjuk a G- jelzést.
Javasoljuk olvasóinknak töltsék le az alábbi -üres ?? - appletet, és saját gépükön próbálják ki az összes itt megadott gömbi eljárást.
Geometriai alakzatok megadása a G-modellen
A modell alapgömbje az origó középpontú 5 sugarú Gömb((0,0,0),5) GeoGebra objektum, amelyre névvel egyetlen saját eljárás sem hivatkozik. (Az applet szabályozható áttetszőségű gömb (mint segédalakzat) ennél picivel kisebb, így jobban szemléltethetők az alapgömb felületére rajzolt objektumok. (Az alapgömb azért ekkora, mert a 3D-s nézet (ház jelű) ikonjára kattintva úgy lehet alapállapotba hozni a rajzteret. hogy ez a gömb többnyire belefér.
Az alábbi ikonkészlet első oszlopában a metszési- illeszkedési eljárások, a másodikban a mérésekkel kapcsolatos eljárások találhatók. Mivel a gömbi szerkesztések mellett szükségünk lehet a térnek az alapgömbhöz nem tartozó objektumaira is (Pl. a GVetítés() eljárásban), ezért a saját eljárásaink mellett GeoGebra alapértelmezésében szereplő térgeometriai eljárások ikonjai is elérhetők maradtak.
Gömbi eljárások
Az illeszkedési, metszési feladatok saját eljárásai:
1. Gömbi Pont Lényegében a (∙) jellel ellátott gomb scriptje a Pont(Gömb((0,0,0),5)) parancs, így ezzel vehetők fel a alapgömb felületén mozgatható pontok. Ez azért nem vehető fel a saját eljárások közé, mert nincs bemenő adata. Ez a gomb nem használja a fenti (üres) fájlban megjelenő gömböt.
Azt egyetlen későbbi eljárás sem veszi igénybe, nem is hivatkozunk rá. Ha egy pontot egy már felvett c (vonal) alakzaton mozgó félig kötött pontként szeretnénk felvenni, akkor ezt a parancs-sorba írt Pont(c) paranccsal tehetjük meg. Több pontot egyszerre megadva ugyanoda ( az (5,0,0) helyre) kerülnek, ezért egy új pont felvétele előtt az esetleg még ott lévő, előzőleg felvett pontot előbb el kell mozdítani onnan.
2. GEgyenes() , GFélegyenes(), GSzakasz(): Mindhárom eljárás bemenő adata két különböző pont. A parancssorból is hívhatók rendre Ha az egyik pont egybeesik a másikkal, vagy annak az átellenes pontjával, akkor az eljárás nem definiált.)
3. GMerőleges() : Adott gömbi pontra illeszkedő adott G-egyenesre, (vagy G-Szakaszra, G-körre) illeszkedő G-egyenes. Ha a bemenő adatként felvett gömbi pont éppen a másodikként megadott gömbi vonal pólusa akkor a G-merőleges nem definiált, mivel nem lenne egyértelmű.
4. GTükrözés():Bemenő adat egy gömbi pont, majd egy G-egyenes, G-félegenes vagy G-szakasz. Az eljárás – szándékosan - nem működik, ha a bemenő adat egy olyan G-kör, amelynek a síkja nem illeszkedik az origóra. Ha nem egy pontot, hanem egy tetszőleges P alakzatot (pl. háromszöglapot) akarunk tükrözni a c nevű G-egyenes síkjára, akkor ezt a Tükrözés(P,Sík(c)) paranccsal tehetjük meg.
5. GFelezőmerőleges(): Lényegében két gömbi pont tükörsíkjának és az alapgömbnek a metszésvonala.
6. GSzögfelező(): B, A, C sorrendben megadott pontokkal a az [AB) és [AC) G-félegyenesek szögfelező G-félegyenesét kapjuk.
7. Gkör(): Bemenő adata a kör gömbi középpontja és egy gömbi kerületi pont. Vegyük figyelembe, hogy egy gömbi körhöz két - egymással átellenes - gömbi középpont tartozhat, így ha a két megadott pont távolsága nagyobb is lehet, mint 90°.
Egy kör megadható három G_Ponttal is. Pl. c=Kör(A,B,C) GeoGebra parancs egy kört állít elő, ha A, B és C a tér három pontja. Így gömbi kört kapunk, ha A, B, C a G-modell három pontja. Ekkor pl. a c kör gömbi középpontjait a GPólus(c) paranccsal kaphatjuk meg.
8. GKörS(): Adott középpontú, adott sugarú G kör. A középpont megadását követően a felnyíló input ablakban egy G szakasz gömbi hosszát kell megadnunk, amely fokban, vagy ívmértékben megadott szög. Ez egy már megszerkesztett G_szakasz is lehet. Ekkor a neve egyben a gömbi körív ívhossza, így a c G szakasz 1/5-öd részét kell beírni pl: c/5 alakban, mivel az alapgömb sugara 5.
9. GPoláris(): Egy adott gömbi ponthoz azt a G egyenest rendeli hozzá, amelynek a síkja az adott pontnak és átellenes pontjának a szimmetriasíkja. (Így ez az eljárás egy G-ponthoz és az átellenes pontjához is ugyanazt a G-egyenest rendeli.
10. GPólus(): Egy adott G egyeneshez ill. G körhöz azokat a gömbi pontokat rendeli, amelynek az adott G-egyenes illl. G-kör a G-középpontja. Bővebben:
11. GMetszéspontABCD() ,GMetszéspontKAB(), GMetszésppontKK() : Két G-szakasz, egy G-kör
és egy G-szakasz valamint két Gkör metszéspontját határozzuk meg. A szakaszokat végpontjaikkal kell megadni , mivel a saját eljárás bemenő adata nem lehet körív, csak kör, vagy pont.
Mérések, geometriai transzformációk saját eljárásai:
12. GSzög() : Bemenő adata három gömbi pont. Középső a szög csúcsa, a másik kettő a csúcsra illeszkedő G egyenes egy-egy pontja. A kapott szög neve egyben a fokokban mért mértéke is. Megjegyezzük hogy két G egyenes (félegyenes, szakasz) szöge lényegében az alakzatok síkjainak a szöge.
13. GVetítés(): Az eljárás a tér bármely pontját rávetíti a Gömb((0,0,0),5) alapgömbre. Ez az eljárás alkalmas arra, hogy pl. előállítsuk egy poliéder pontjainak az alapgömbre eső merőleges vetületét.
14. GSzakaszOSZT() : Egy végpontjaival adott G szakaszt n részre részre osztó pontokat állítja elő a szakasz végpontjait is beleértve. Bemenő adat: az A és B gömbi pont, majd az n egész szám. Eredmény: egy (n+1) pontból álló lista. Erre az eljárásra elsősorban a következő eljárás elkészítéséhez volt szükség.
15. GHR(),GHF() : Gömbi háromszöglapok. Ugyanarra a feladatra két változat is készült.
Mindkét eljárás bemenő adata a G háromszög három csúcsa. Eredménye egy az alapgöbre simuló gömbháromszög felület. A felület átszínezhető. Mivel az alapgömb felületén helyezkedik el, és az alapgömb megjelenítéséhez ennél 0.05 egységgel kisebb gömböt használunk, ezért a színek nem zavarják egymást. Javaslat: Ha a szemléletesség érdekében azt szeretnénk, hogy a lap „belülről” másmilyen színű legyen, hajtsunk végre egy origó középpontú 0.995 arányú nyújtást, és az így kapott felületnek adjunk más színt.
Ezeknek az eljárásoknak az elkészítése programozástechnikai szempontból is figyelemre méltó.
Megjegyzések
Olykor egyszerűbb egy-egy műveletet a parancs sorban megoldni: pl. egy pont antipodális (átellenes) pontja, az origóra való tükrözéssel sőt az A'=-A paranccsal is előállítható. Így meghagytuk a GeoGebra eredeti ikonjait is.
A Cyan színű ikonnal előállított gömbháromszög szebb, pontosabb képet eredményez, viszont -mivel több számolást igényel - alkalmazásával lassabbá válhat a program betöltése, és interaktív kezelése. Erről itt olvashatnak bővebben a GeoGebra programozása iránt érdeklődő olvasóink.
