Berühr-Orte bei 4 Polen
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (September 2021)
Für zwei W-Bewegungen in der Möbiusebene mit insgesamt 4 verschiedenen Polen ist der Ort, in welchem die W-Kurven sich berühren, die Möbiustransformierte einer Cassini-Kurve. Im Applet oben sind die 4 verschiedenen Pole in Normalform , angeordnet. Der Berührort, also der Ort, in welchem sich die Kreise der beiden elliptischen Kreisbüschel mit den Polen und unter konstantem Winkel schneiden, entsteht aus einem zum Einheitskreis orthogonalen Kreis unter der komplexen Wurzelabbildung. Dieser Ort ist eine irreduzible Cassini-Kurve: je nach Lage des Kreises zweiteilig, einteilig oder von der Form der Bernoulli-Lemniskate. Dass dieser Berührort nicht in das Produkt von 2 Kreisgleichungen zerfallen kann, erkennt man auch daraus, dass die Pole Punkte des Berührortes sind. Einzige Ausnahme: Dann und nur dann, wenn die Pole konzyklisch sind (in Normalform: wenn sie auf einer der Achsen oder auf dem Einheitskreis liegen) und wenn es sich bei den W-Kurven um die Kreise des elliptischen Kreisbüschels handelt ( ! ), zerfällt der Berührort in 2 orthogonale Kreise, zB. in die beiden Achsen, wenn die Pole auf der -Achse liegen. Man setze dazu p reell und lasse m gegen gehen.