Ricerca di massimi e minimi: analogie e differenze
Affrontiamo in questo capitolo il problema della ricerca di punti di minimo e di massimo per una funzione a due variabili .
D'ora in poi ci riferiremo dove non altrimenti detto ai punti di minimo per avere un riferimento; ovviamente lo stesso si applica in modo analogo a quelli di massimo.
La definizione di punto di minimo resta identica: un punto è un minimo relativo se
cioè se esiste un raggio tale per cui tutti i punti che non si allontanano da più di hanno un output maaggiore di quello di (che quindi, "lì vicino", è quello che ha il risultato minimo.
Quello che cambia è la definizione dell'intorno che definisce i punti il cui output viene confrontato con quello del punto di massimo, che da intervallo lineare (p.e. ) diventa ora un intervallo circolare nelle due dimensioni e : .
Come vedremo questo permette di mantenere alcuni aspetti del procedimento ma obbliga a considerare situazioni che nel caso bidimensionale non si presentavano.
CONDIZIONE NECESSARIA: I PUNTI CRITICI
Affinché un punto sia di minimo è necessario che le sue derivate parziali rispetto ad e rispetto ad siano entrambe nulle, ovvero che il piano tangente alla funzione nel punto sia "orizzontale" (cioè parallelo al piano . I punti con questa caratteristica sono detti punti critici. In caso contrario è evidente che l'output della funzione sta aumentando o diminuendo in una certa direzione, e quindi il punto non può essere un estremo.
Il punto , punto di massimo relativo per la funzione, è un punto critico. Il piano tangente alla funzione nel punto è inclinato, e questo gli impedisce di essere un punto di massimo o di minimo.
PUNTI DI MINIMO E MASSIMO E PUNTI DI SELLA (DERIVATE SECONDE PURE)
L'essere un punto critico è condizione necessaria ma non è sufficiente per essere un punto estremale; anche nelle funzioni ad una variabile i punti a derivata nulla (stazionari) non sono necessariamente estremali, dato che possono essere punti di flesso [orizzontale].
Il corrispondente dei punti di flesso è rappresentato, in tre dimensioni, dai punti di sella. Anche in questo caso è possibile distinguere questi punti tramite le derivate seconde, che indicano la concavità e la curvatura della funzione, ma con funzioni tridimensionali il loro studio è più complesso.
Nei primi due esempi qui sotto vediamo i casi più semplici.
Il paraboloide di rotazione nell'origine ha concavità verso l'alto sia lungo le (parabola blu) che lungo le (parabola rossa). Le derivate seconde entrambe concordi sembrano non lasciare dubbi sulla presenza di un punto di minimo.
La funzione presenta una situazione molto diversa: nell'origine ha concavità verso l'alto lungo le (parabola blu) ma verso l'alto lungo le (parabola rossa) . Le derivate seconde discordi danno alla curva due differenti concavità nelle due direzioni: l'origine sembra un massimo rispetto alle ed un minimo per le , e di fatto non è nessuno dei due: è un punto di sella.
La situazione quindi sembrerebbe semplice: se le derivate seconde hanno lo stesso segno la curvatura è "unanime" del definire un punto di massimo (concavità verso il basso, derivate seconde negative) o verso) o di minimo (concavità verso il basso, .
Se invece le derivate seconde sono discordi, non si ha un comportamento comune e si ha un punto di sella.
Purtroppo le cose non sono così semplici. Osserviamo ad esempio che il punto di sella che abbiamo analizzato aveva le due parabole opposte proprio lungo gli assi, per cui le derivate seconde lungo quegli assi sono state sufficienti ad individuarle ed a riconoscere il problema. Ma cosa succede se ruotiamo la sella di 45°?
Lo vediamo sotto, dove è rappresentata la funzione ruotata la cui equazione è diventata . Ovviamente la forma della superficie non cambia, ma non sarà altrettanto facile riconoscere il punto di sella. Nel grafico sotto possiamo vedere che lungo gli assi adesso la curva risulta piatta (infatti , quindi non ci possono aiutare per "smascherare" la presenza del punto di sella.
L'esempio successivo è ancora più infido: se consideriamo la funzione , vediamo che lungo gli assi abbiamo un andamento parabolico concorde con concavità verso l'alto, infatti , ma nonostante questo l'origine è un punto di sella, infatti lungo la diagonale , in puntini sul grafico, l'origine è il vertice di una parabola rivolta verso il basso.
Da questi esempi risulta chiaro che studiare le derivate seconde pure non basta, perchè esse indicano la concavità della curva lungo due sole direzioni (quelle degli assi) e non riescono ad ispezionare il comportamento lungo le altre direzioni.
È necessario considerare un aspetto in più. Notiamo che vicino ai punti di sella le superfici delle funzioni sono caratterizzate da un aspetto particolare: la torsione. Nella figura sotto studiamo la derivata prima della funzione (ad esempio l'inclinazione lungo l'asse delle ) e spostandoci lungo l'asse delle notiamo che cambia, descrivendo la torsione della superficie.
Allo stesso modo si può visualizzare come cambia la derivata man mano che ci si sposta lungo le .
La torsione della superficie è legata al fatto che l'inclinazione della superficie, nel nostro esempio rispetto alla direzione , cambia quando ci muoviamo lungo la direzione perpendicolare alla prima, quindi lungo .
Possiamo esprimere questa idea utilizzando gli strumenti dell'analisi affermando che la torsione è data dalla variazione di una derivata, nel nostro esempio , rispetto alla direzione perpendicolare ad essa, in questo caso .
Come sempre una variazione è misurata dalla derivata della quantità, quindi di fatto questo significa che stiamo studiando la derivata dell'inclinazione rispetto a , cioè la derivata mista , che può essere considerata una misura della torsione della superficie.
Ovviamente discorso del tutto analogo si ottiene studiando la derivata dell'inclinazione rispetto a , cioè la derivata mista : entrambe ci danno informazioni sulla torsione della superficie, e quindi ci aiuteranno a riconoscere la presenza di punti di sella da distinguere dai punti di massimo e minimo.
Nel prossimo capitolo approfondiremo l'influenza della torsione e quando questa porta effettivamente a punti di sella.