Punkte im Raum
Die Darstellung von Punkten in zwei Dimensionen sollte hinreichend bekannt sein:
ist der Punkt mit x-Koordinate 4 und y-Koordinate 2.
In drei Dimensionen kommt nun eine Koordinate hinzu, wir schreiben beispielsweise
für den Punkt mit -Koordinate 4, -Koordinate 2 und -Koordinate 6.
Im Allgemeinen können wir einen Punkt also so schreiben:
bzw. .
In 3D ist die Darstellung von Punkten sehr schön erreichbar.
Wenn man von Punkt A senkrecht nach unten (parallel zur z-Achse) geht, trifft man in der xy-Ebene auf die Stelle (10|4). Die x-Koordinate von A ist 10 (rote Achse = x-Achse), die y-Koordinate ist 4 (grüne Achse = y-Achse).
Die z-Koordinate von A ist 6, denn der Punkt A befindet sich 6 Einheiten über der xy-Ebene. Das kann in der xz-Ebene (grüne Seitenwand) ebenso abgezählt werden wie in der yz-Ebene (gelbe Rückwand).
Also: .
Die Ansicht kann mit der Maus bewegt werden, damit der 3D-Effekt deutlicher wird.
Bei Bedarf können Sie sich die weiteren Punkte B, C und D anzeigen lassen.
Blenden Sie die Stützen aus: Dann ist im stehenden Bild nicht zu erkennen, wo im Raum sich die Punkte befinden. Eine Ahnung davon bekommt man aber, sobald man die Zeichnung rotieren lässt.
Zum Rotieren können Sie die Maus oder den Schalter im GeoGebra-Applet verwenden.
Der Punkt A kann mit der Maus parallel zu xy-Ebene (also horizontal)
bewegt werden. Die Hilfslinien zeigen dabei weiterhin an, wie die
Koordinaten abzulesen sind.
Nach einem einzelnen Klick auf den Punkt A wechselt der Verschiebemodus:
Nun kann der Punkt senkrecht (vertikal) verschoben werden.
Die Darstellung von dreidimensionalen Punkten auf Papier ist indes etwas komplizierter.
Im Folgenden wird die x-Achse als -Achse bezeichnet, die y-Achse als -Achse und die z-Achse als -Achse.
Um den Punkt darzustellen, gehen wir zunächst 2 entlang der -Achse, das heißt 2 nach links unten. Anschließend gehen wir 3 entlang der -Achse nach rechts und schließlich 4 entlang der -Achse nach oben.
Wir können die gezeichneten Pfeile auch zu einem Quader ergänzen. Eine Ecke dieses Quaders befindet sich dann im Ursprung, die andere Ecke des Quaders befindet sich auf P. Hierfür markieren wir alle möglichen Wege, vom Ursprung aus zu P zu gelangen (wir dürfen ja vom Ursprung aus auch zunächst nach oben oder nach rechts gehen).
Blenden wir nur den Punkt ein, ist es schwierig, zu erkennen, wo genau sich der Punkt befindet, sodass zusätzlich gezeichnete Linien wichtige Hilfen darstellen.
Probiert dies im folgenden GeoGebra-Applet anhand der Kontrollkästchen auf der rechten Seite einmal aus!