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Patrones, recursividad y generalización.

Autor:Instituto GeoGebra de Murcia
En esta actividad, utilizaremos la hoja de cálculo de GeoGebra como puente conceptual: las celdas nos permitirán hacer visible la tasa de variación y usar la propia sintaxis del programa como una primera aproximación amable al lenguaje algebraico formal.

El problema de las mesas alineadas

Imaginemos que en un comedor escolar unimos mesas cuadradas en fila. Una mesa aislada acomoda a 4 alumnos. Si unimos dos mesas, caben 6 alumnos. Si unimos tres, caben 8.

Si eres docente de primaria:

Observad la columna C. ¿Cómo ayuda visualmente a los alumnos ver que la diferencia siempre es 2 para asentar el concepto de "crecimiento constante"?

Si eres docente de secundaria:

Al escribir =2*A2 + 2, obligamos al alumno a utilizar la celda A2 como variable independiente. ¿Qué ventajas tiene esta sintaxis informática frente a pedirles directamente que escriban la expresión en papel?

El problema de los números triangulares

Imagina que tienes fichas y quieres formar triángulos así:
  • Triángulo 1: solo 1 ficha (el vértice)
  • Triángulo 2: 3 fichas (una fila de 1, una fila de 2)
  • Triángulo 3: 6 fichas (filas de 1, 2 y 3)
  • Triángulo 4: 10 fichas (filas de 1, 2, 3 y 4)
¿Cuántas fichas necesitas para formar el triángulo número 10? ¿Y el triángulo número 50? ¿Existe una fórmula que te permita calcular el número de fichas para cualquier posición n? Vamos a usar la hoja de cálculo de GeoGebra para descubrirlo.

Pasos de construcción guiada para los Números Triangulares en la tabla

Paso 1. En la celda A2 escribe 1. Esta es la posición del primer triángulo. Paso 2. En la celda A3 escribe =A1+1. Esto genera la posición 2. Paso 3. Selecciona la celda A3, haz clic en la esquina inferior derecha de la celda y arrastra hacia abajo hasta A11. GeoGebra rellenará automáticamente las posiciones 1, 2, 3... hasta 10. Paso 4. En la celda B2 escribe 1. Este es el número de fichas del triángulo 1. Paso 5. En la celda B3 escribe =B2+A3. Esto suma al total anterior la nueva fila que acabas de añadir (que tiene tantas fichas como la posición). Paso 6. Arrastra B3 hacia abajo hasta B11, igual que hiciste con la columna A. Paso 7. Observa la columna B. ¿Reconoces la secuencia 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55? Resultado esperado: dos columnas, una con las posiciones n (1, 2, 3...) y otra con los números triangulares correspondientes.

Pensamiento algebraico a trabajar con el alumno

A la izquierda tienes un modelo de los Números Triangulares. Mueve el deslizador y observa cómo crece la figura. A la derecha, vamos a "fabricar" la fórmula que predice las bolas para cualquier tamaño.
  1. Columna A: Pon los números del 1 al 10 (valor de n).
  2. Columna B: Escribe el recuento real de bolas que ves en el applet para cada n: 1, 3, 6, 10...
  3. Columna C (Primer Intento): Sospechamos que el crecimiento tiene que ver con cuadrados. Escribe =A2^2 y arrastra. ¡Nos pasamos mucho! (1, 4, 9, 16...).
  4. Columna D (Ajuste): Probemos con la mitad de ese cuadrado. Escribe =C2/2 y arrastra. (0.5, 2, 4.5, 8...). Nos acercamos a la columna B, pero falta un poco.
  5. Columna E (El residuo): ¿Qué nos falta exactamente? Calculemos la diferencia entre la realidad (B) y nuestro ajuste (D). Escribe =B2-D2 y arrastra.
  6. El descubrimiento: Observa los valores de E (0.5, 1, 1.5, 2...). ¡Es la mitad de la columna A! Es decir, =A2/2.
  7. Fórmula Final: Suma tus hallazgos algebraicos: .

Si eres docente de primaria:

  1. ¿Cuántas fichas necesitas para el triángulo 10? ¿Y para el triángulo 15?
  2. Sin usar la hoja de cálculo, ¿puedes predecir cuántas fichas tiene el triángulo 11?
  3. ¿Ves algún patrón en cómo crecen los números de la columna B?
  4. Si un alumno te dice que ha formado un triángulo con 21 fichas, ¿qué posición ocupa ese triángulo?

Si eres docente de secundaria:

  1. Añade una columna C que calcule la diferencia entre números triangulares consecutivos (B2-B1, B3-B2, etc.). ¿Qué secuencia obtienes? ¿Por qué?
  2. El número triangular en la posición n se puede calcular como la suma 1+2+3+...+n. ¿Conoces la fórmula de Gauss para esa suma? Añade una columna D que calcule =A*((A+1)/2 y compárala con la columna B. ¿Qué observas?
  3. En la celda E1 escribe la fórmula =A1*(A1+1)/2 y arrástrala hacia abajo. Acabas de generalizar el patrón. ¿En qué se diferencia esta columna de la B, aunque den el mismo resultado?
  4. Usa la fórmula para calcular el triángulo en la posición 100 sin rellenar 100 filas.

Posibles variaciones interesantes

Ampliación: el problema inverso Si te digo que un número triangular vale 210, ¿en qué posición está? La fórmula es T(n) = n(n+1)/2. Si T(n) = 210, entonces n(n+1)/2 = 210, es decir, n² + n - 420 = 0. En el siguiente capítulo aprenderás a resolver esta ecuación en la vista CAS de GeoGebra. Por ahora, puedes buscar la respuesta en tu hoja de cálculo ampliando las filas hasta encontrar 210 en la columna B. Profundización: otros números figurados Los números triangulares forman triángulos. ¿Qué pasa si en lugar de triángulos formas cuadrados?
  • Cuadrado 1: 1 ficha
  • Cuadrado 2: 4 fichas (2×2)
  • Cuadrado 3: 9 fichas (3×3)
Crea una nueva columna para números cuadrados y otra para números pentagonales (la fórmula es n(3n-1)/2). ¿Qué patrones encuentras?

Conclusión

Lo que acabamos de hacer es pensar algebraicamente:
  1. Hemos observado casos concretos (triángulo 1, 2, 3...).
  2. Hemos organizado la información en una estructura (la tabla).
  3. Hemos buscado un patrón (la diferencia crece de 1 en 1).
  4. Hemos encontrado o verificado la expresión general (n(n+1)/2).
La hoja de cálculo no te da la fórmula: te da el espacio para descubrirla. Y eso es exactamente lo que hacen tus alumnos cuando generalizan un patrón. En el próximo capítulo vamos a trabajar con la vista CAS de GeoGebra para manipular esas expresiones de forma simbólica: expandir, factorizar, resolver ecuaciones.

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