Obtener aproximación del número Pi
Vamos a trabajar, una vez más, con la circunferencia de radio unidad centrada en el origen (0,0).
Si señalamos los cortes con los ejes de coordenadas, tendremos los cuatro puntos siguientes:
A(1,0)
B(0,1)
C(-1,0)
D(0,-1)
Si unimos esos cuatro puntos, obtenemos un cuadrado.
¿Eres capaz de obtener, aplicando Teorema de Pitágoras, la longitud de uno de los lados del cuadrado?
¿Cuánto vale la longitud de uno de los lados del cuadrado de la figura superior? ¿Cuánto vale su perímetro? Escribe tu respuesta, utilizando si es necesario el editor de ecuaciones que te ofrece Geogebra al escribir la respuesta.
El perímetro del cuadrado inscrito a la circunferencia puede valernos como una primera aproximación al perímetro de la circunferencia.
Recuerda que el perímetro de una circunferencia es:
Si el radio es igual a 1, el perímetro queda:
Si despejamos el valor de Pi obtenemos:
En el cuadrado anterior, llegamos a la conclusión que su perímetro era igual a . Por lo tanto, si usamos este valor para aproximar el número Pi nos queda:
¿Es una buena aproximación?
Sabemos que el número Pi es 3,141592.... Por lo tanto, aún tenemos mucho margen para mejorar la aproximación.
En el siguiente enlace puedes encontrar, a modo de curiosidad, los primeros 1.500 decimales del número Pi.
Para mejorar nuestra aproximación, vamos a pasar del cuadrado al octógono inscrito.
¿Se te ocurre algún método, con ayuda del dibujo técnico, para obtener los cuatro nuevos vértices que han aparecido en el octógono? Ayuda: recordar cómo se dibuja la mediatriz de un segmento. Escribe tu respuesta.
Obtener a mano, mediante Teorema de Pitágoras, la longitud de uno de los lados del octógono ya no es una tarea tan fácil como la que hicimos con el cuadrado.
Si somos capaces de dibujar el octógono en Geogebra, podemos usar el comando Perímetro para obtener directamente la suma de los lados del polígono. Y obtendríamos fácilmente que el valor del perímetro del octógono es 6,12.
Por lo que la aproximación al número Pi quedaría:
Este valor ya se aproxima mucho más al famoso 3,14....
¡Vamos por el buen camino!
Avancemos ahora hacia el hexadecágono (16 lados iguales).
El perímetro del hexadecágono es 6,24. Por lo que la aproximación del número Pi queda:
¡Ya hemos conseguido fijar el primer decimal del número Pi!
Si repetimos el proceso con polígonos de 32 lados, 64 lados, 128 lados, etc. iremos mejorando paulatinamente en nuestra aproximación.
RETO: Crear archivo Geogebra con cuadrado, octógono y hexadecágono inscritos para aproximar el número Pi
Te planteamos el siguiente reto.
Abre Geogebra en tu ordenador y dibuja una circunferencia de radio unidad centrada en el origen (0,0).
Señala los puntos iniciales (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1) y crea el cuadrado inicial.
Con ayuda del botón para dibujar la mediatriz de un segmento y del botón para obtener la intersección entra una recta y la circunferencia, obtener el el resto de puntos del octógono. Con ayuda del comando Perímetro, calcular numéricamente la perímetro del octógono. E introducir un cuadro de texto con los cálculos de la aproximación para el número Pi.
Repetir el mismo proceso para obtener el hexadecágono.
¿Eres capaz de llegar, al menos, hasta el polígono de 32 lados?