Demonstração Direta

Nesse método, assumiremos as hipóteses e, por meio de deduções válidas, chegaremos na tese. Podemos utilizar qualquer proposição verdadeira: hipóteses, definições, axiomas e resultados anteriores. Se fizermos isso e chegarmos na tese, ela é necessariamente verdadeira e, assim, demonstramos o que estávamos querendo. Veja:

Um argumento válido é uma tautologia, e especificamente uma implicação lógica. Isto é, se as premissas são verdadeiras, a conclusão também é. Como utilizamos apenas proposições verdadeiras (hipóteses, axiomas, definições e resultados anteriores), a conjunção dessas proposições gera uma proposição composta p também verdadeira. Como o argumento é válido, não podemos ter q falso (definição), logo, nessas condições, q também é verdadeiro.

Seja o argumento: Se chove, a grama molha. Choveu. Então a grama molhou. Note que ele é válido (traduza-o simbolicamente e veja que é uma tautologia). E mais: simplesmente não faz sentido "chover" ser verdadeiro e "a grama molhar" ser falso. Por isso essa linha é falsa.

Utilize o applet anterior para ver que isso, de fato, é verdadeiro. Além disso, utilizaremos alguns conceitos da geometria analítica para começar: na reta, se o valor de uma coordenada b é maior que a e menor que c, dizemos que b está entre a e c. Agora, provaremos diretamente: Como x e y pertencem a (0,1), é imediato que 0<y<1. Como x é maior que zero, podemos multiplicar a desigualdade por x de tal forma que os símbolos não se invertam, chegando em x0<xy<x1, logo, temos que 0<xy<x. Como queríamos.

Basicamente, assumimos as hipóteses e inferimos a tese. Veremos nas próximas seções maneiras alternativas de se demonstrar, uma vez que muitas vezes uma demonstração direta se torna difícil.

Em proposições falsas, achar um contraexemplo onde a proposição falha é o suficiente para mostrar que ela é falsa.