Πολυωνυμικές εξισώσεις
Στην επόμενη δραστηριότητα δίνεται μία οικογένεια πολυωνύμων P(x) 4ου βαθμού, τα οποία μεταβάλλονται από τους δρομείς k ,l ,m και n.
1ο μέρος
- Τί φαίνεται να ισχύει για τον τρόπο που οι δρομείς μεταβάλλουν τη μορφή του πολυωνύμου P(x);
- Πώς συνδέονται οι τιμές των δρομέων με τις λύσεις της εξίσωσης P(x)=0;
- Μπορούμε με τη χρήση αυτού του ψηφιακού δομήματος να βρίσκουμε όλους τους παράγοντες της μορφής x-ρ του πολυωνύμου P(x) ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
- Υπάρχει περίπτωση κάποιο πολυώνυμο P(x) αυτής της μορφής να μην τέμνει τον άξονα xx΄; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
- Με 4 ακέραιες ρίζες. Τι φαίνεται να ισχύει σε αυτή την περίπτωση: α) για τους συντελεστές του P(x); β) για τη σχέση των ριζών με το σταθερό όρο του πολυωνύμου;
- Με συντελεστές από το σύνολο (μη ακέραιους) και ακέραιη ρίζα. Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τη σχέση των συντελεστών του πολυωνύμου και των ακέραιων ριζών του όταν αυτές υπάρχουν;
- Με ακέραιους συντελεστές και ρίζα που δεν είναι ακέραιος αριθμός (αν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο P(x)). Μπορείτε να δοκιμάσετε να ορίσετε δικό σας πολυώνυμο Q(x). Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τη σχέση ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές και την ύπαρξη ρητών ριζών του;