M3.II.5b ABL LGS als Matrix-Vektor-Gleichung

Auteur :MaTeGnu, GeoGebra Team, GeoGebra Team

Bisherige Aufgabe aus Kapitel I

Sie haben bereits mehrere Schreibweisen für lineare Gleichungssysteme kennengelernt. Ausgangspunkt war die Gleichung der Linearkombination aus drei Vektoren im Arbeitsblatt M3.I.3c AB Linearkombinationen von Vektoren in Kapitel I. Gesucht waren die Faktoren

, so dass gilt:

und konkret im Beispiel

. Sie haben im Arbeitsblatt M3.II.4a AB LGS mit Gauß-Verfahren in diesem Kapitel mit der erweiterten Koeffizientenmatrix auch eine kürzere Schreibweise kennengelernt:

. Eine weitere Schreibweise wird im nachfolgenden Applet genutzt.

Aufgabe 1

Untersuchen Sie die neue Schreibweise anhand der nachfolgenden Lösung des Beispiels aus Kapitel I mit dem CAS-Rechner der GeoGebra Rechner Suite. Identifizieren Sie in den Eingaben die Komponenten der Vektoren und stellen Sie jeweils eine passende Gleichung in der neuen Schreibweise a) allgemein mit den Bezeichnern , und und b) mit den konkreten Zahlenwerten des Beispiels auf.

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Lösung in GeoGebra

Idee der Lösung

0.	Ausgangspunkt ist die Gleichung der Linearkombination , im Beispiel .
1.	Diese Gleichung lässt sich mit den Rechenregeln für Vektoren vereinfachen zu , wie in M3.II.4 AB Linearkombinationen von Vektoren als LGS gezeigt.
2.	Stellt man wie in Aufgabe 1 die Matrix-Vektor-Gleichung auf, so ergibt sich .
3.	Vergleicht man jeweils die linke Seite der Gleichungen in 2. und 3. ergibt sich:
4.	Daraus kann man nun eine Rechenregel zur Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor formulieren.

Aufgabe 2

Stellen Sie für das folgende Gleichungssystem die Matrix-Vektor-Gleichung auf: Lösen Sie anschließend die Matrix-Vektor-Gleichung in GeoGebra.

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Sie sind dran...

Anleitung

1.	Eine Matrix wird mit geschweiften Klammern zeilenweise in GeoGebra eingegeben. Hier die Eingabe für die Matrix aus Aufgabe 1: `M={{1,3,2},{8,4,5}{4,6,1}}`.
	Alternativ können Sie die in GeoGebra eingeblendete Tastatur zur Eingabe benutzen:
2.	Geben Sie den Vektor auf der rechten Seite der Matrix-Vektor-Gleichung ein. Im Beispiel aus Aufgabe 1 lautet die Eingabe: `f=(12,24,18)`
3.	Der Vektor der gesuchten Faktoren muss ebenfalls in GeoGebra eingegeben werden: `l=(x,y,z)`
4.	Benutzen Sie den Befehl `Löse` und geben Sie in den Klammern zuerst die Matrix-Vektor-Gleichung an und getrennt durch ein Komma geben Sie dann an, wonach die Gleichung aufgelöst werden soll, also den Vektor der gesuchten Faktoren : `Löse(M*l=f,l)`

Anmerkung: Die Lösung des Gleichungssystems wird als Liste mit den entsprechenden Werten für die Variablen x, y und z angezeigt. Sie können den Umschaltbutton

für numerische Ausgabe auswählen, um die Lösungen als gerundete Dezimalzahlen anzuzeigen. Wählen Sie den entsprechenden Umschaltbutton

, um wieder die symbolische Ausgabe zu erhalten.