Demonstração Indireta

Agora, provaremos algo já demonstrado na seção anterior, visando mostrar que, muitas vezes, vários métodos podem ser aplicados em uma demonstração. Proposição: se x e y pertencem a (0,1), então xy está entre 0 e x. Suponha, por absurdo, que xy não esteja entre 0 e x. Assim, xy é menor do que 0 ou xy é maior do que x. Todavia, x e y são reais positivos, então seu produto é maior do que zero. Assim, ficamos apenas com xy maior do que x. Temos que xxy. Dividindo essa desigualdade por x, obtemos 1y. Esse passo é válido porque x é maior do que zero, então a divisão está bem definida e não há troca de lados da relação de menor ou igual. Porém, isso gera um absurdo, uma vez que encontramos que y é maior ou igual que 1; mas, por hipótese, y é estritamente menor do que 1 (contradição). Portanto, xy está entre 0 e x, como queríamos demonstrar.