M2.I.2 L Anfangsbestand und Flächenbilanz
Leitfrage zu Phase 2
Kann man im Graph der Änderungsfunktion den Bestand auch darstellen?
Kann man (wie bei der Ableitung) aus der Änderungsfunktion die Bestandsfunktion eindeutig rekonstruieren?Grundvorstellungen
Während in Phase 1 die Grundvorstellungen Integrieren als Rekonstruieren zentral war, kommt in Phase 2 auch die Grundvorstellung Integrieren als Bestimmen eines orientierten Flächeninhalts hinzu.
Die SuS untersuchen in Aufgabe 1 des digitalen Arbeitsblatts
M2.I.2 AB Wannenparadox
wie Wassermenge und Flächen(-bilanz) zusammenhängen, deuten den Bestand als orientierten Flächeninhalt und vergleichen Flächenbilanzen zu verschiedenen Zeitpunkten miteinander. Dabei entdecken sie, dass Flächen oberhalb der x-Achse positiv und Flächen unterhalb der x-Achse negativ in die Flächenbilanz eingehen.
Ergänzend zu den konstanten Änderungsraten aus Phase 1 werden in Phase 2 auch lineare Änderungsraten in den Blick genommen. Wie bereits erwähnt, wird dabei jedoch doch stets auf einer anschaulichen Ebene mit der Flächenberechnung von Rechtecken und Dreiecken argumentiert.
Sollten SuS hier Schwierigkeiten mit der Anknüpfung des Bestands an die Flächenbilanz haben, kann diese auch zunächst anhand der Rechtechflächen in M2.I.1a AB K1 (bzw. K2) und M2.I.1b AB erarbeitet werden.
Ausgangsfunktion und Anfangsbestand
Durch die Erarbeitung von Phase 2 soll außerdem deutlich werden, dass es zu einer Änderungsfunktion mehrere Ausgangsfunktionen gibt. Dem widmet sich Aufgabe 2 des Arbeitsblatts. Um die Diskussion zu einem möglichen Anfangsbestand zu motivieren ist das Beispiel im Arbeitsblatt so gewählt, dass der rekonstruierte Bestand bzw. die bilanzierte Fläche ab dem Zeitpunkt t=2 negativ wird.
Dadurch zeigt sich, dass bei gleichbleibender Änderungsrate die Ausgangsfunktionen (in Abhängigkeit vom Anfangsbestand) unterschiedlich sein können. Es gibt also keine eindeutige Bestandsfunktion, die einer Änderungsfunktion zugeordnet werden kann. Alle Bestandsfunktionen unterscheiden sich aber lediglich durch eine Konstante (Verschiebung des Graphen in y-Richtung).
Ausblick
Diese Phase bereitet bereits den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vor (siehe Kapitel III, Phase 7). Im Sinne einer didaktischen Reduktion werden allerdings nur geradlinige Änderungsfunktionen in den Blick genommen, sodass stets anschaulich mit der Flächenberechnung von Rechtecken und Dreieckenargumentiert werden kann.
M2.I.2 AB Wannenparadox
wie Wassermenge und Flächen(-bilanz) zusammenhängen, deuten den Bestand als orientierten Flächeninhalt und vergleichen Flächenbilanzen zu verschiedenen Zeitpunkten miteinander. Dabei entdecken sie, dass Flächen oberhalb der x-Achse positiv und Flächen unterhalb der x-Achse negativ in die Flächenbilanz eingehen.
Ergänzend zu den konstanten Änderungsraten aus Phase 1 werden in Phase 2 auch lineare Änderungsraten in den Blick genommen. Wie bereits erwähnt, wird dabei jedoch doch stets auf einer anschaulichen Ebene mit der Flächenberechnung von Rechtecken und Dreiecken argumentiert.
Sollten SuS hier Schwierigkeiten mit der Anknüpfung des Bestands an die Flächenbilanz haben, kann diese auch zunächst anhand der Rechtechflächen in M2.I.1a AB K1 (bzw. K2) und M2.I.1b AB erarbeitet werden.
Ausgangsfunktion und Anfangsbestand
Durch die Erarbeitung von Phase 2 soll außerdem deutlich werden, dass es zu einer Änderungsfunktion mehrere Ausgangsfunktionen gibt. Dem widmet sich Aufgabe 2 des Arbeitsblatts. Um die Diskussion zu einem möglichen Anfangsbestand zu motivieren ist das Beispiel im Arbeitsblatt so gewählt, dass der rekonstruierte Bestand bzw. die bilanzierte Fläche ab dem Zeitpunkt t=2 negativ wird.
Dadurch zeigt sich, dass bei gleichbleibender Änderungsrate die Ausgangsfunktionen (in Abhängigkeit vom Anfangsbestand) unterschiedlich sein können. Es gibt also keine eindeutige Bestandsfunktion, die einer Änderungsfunktion zugeordnet werden kann. Alle Bestandsfunktionen unterscheiden sich aber lediglich durch eine Konstante (Verschiebung des Graphen in y-Richtung).
Ausblick
Diese Phase bereitet bereits den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vor (siehe Kapitel III, Phase 7). Im Sinne einer didaktischen Reduktion werden allerdings nur geradlinige Änderungsfunktionen in den Blick genommen, sodass stets anschaulich mit der Flächenberechnung von Rechtecken und Dreieckenargumentiert werden kann.Zeitbedarf
ca. 1h (+Zeit für Übungen)
Übungsaufgaben zur Flächendeutung
Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 196 (Einstiegsaufgabe Pumpspeicherwerk), S. 198-200, insb. S. 200, Nr. 1 und 3
Elemente der Mathematik, RLP, GK (2017): S. 156 (Einstiegsaufgabe), S. 158-160, insb. S. 160, Nr. 1 und 3
Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 182-185
Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 166-169
Aufgabe 3 im Online Mathe-Buch o-mathe: https://o-mathe.de/integralrechnung/integral/bestandsrekonstruktion/zuflussabfluss/lernstrecke/berechnungen
bettermarks:"Stammfunktionen und Integrale", Kap. 1 Flächeninhalte unter einer Kurve, Serie 1.1 Gesamtänderung einer Größe als Fläche unter ihren Graphen bestimmen
bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kap. 1 Flächeninhalte unter einer Kurve, Serie 1.2 Gesamtänderung eines Bestandes als Flächenbilanz bestimmen
Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S.159 (insb. Nr. 1), S. 160 (insb. Nr.3)