Ejercicio por soluciones dobles

Pasos 1- Existe una condición de ortogonalidad con c₃, con lo que las circunferencias buscadas tendrán que pertenecer a la red que tiene c₃ como circunferencia fundamental. Las soluciones también serán dobles en la inversión I₊ que transforma c₁ en c₂. Para definirla hay que encontrar el centro de homotecia positivo H+ que relaciona c₁ y c₂. 2- Con un punto Pcualquiera sobre y su homotético P_H sobre se determina H+. 3- Que coincide con I₊. Los puntos de corte de c₁ y c₂ A=A' y B=B' son dobles en la inversión, por lo que 4- La circunferencia fundamental de la inversión c_f es inmediata. 5- El haz hiperbólico al que pertenecen las soluciones queda definido por sus dos puntos límites L₁ y L₂. La recta que los une es la recta base del haz. La perpendicular por los centros de las dos circunferencias con condición de ortogonalidad, c₃ y c_f es el eje radical del haz solución. Se va a resolver el problema fundamental de tangencias con c₁. Para ello se puede emplear cualquier circunferencia del haz solución para determinar el Centro radical C_rad de c₁ y el haz. El deslizador azul permite seleccionar si se emplea la circunferencia de radio 0, L₂, o una circunferencia auxiliar c_aux que pase, por ejemplo, por B. - Usando L₂ 6- Para determinar el eje radical de c₁ y L₂ se puede emplear la propia c_f como circunferencia auxiliar. La tangente a c_f por L₂ es el eje radical de ambos. El eje radical de c₁ y c_f pasa por los puntos de corte de ambas circunferencias A y B. La intersección de ambos ejes determina el centro radical de los tres elementos. 7- El eje radical de c₁ y L₂ ha de pasar por el centro radical determinado, y ser ortogonal a la línea de centros de c₁ y L₂ s. - Usando una circunferencia auxiliar c_aux por B. 6- Es trivial determinar una circunferencia c_aux que pertenezca al haz hiperbólico solución y pase por B. Al tener que ser ortogonal a c_f por B la tangente a c_f por B es lugar geométrico del centro de c_aux, que ha de pertenecer también a la recta base. Una vez determinada c_aux, 7- El eje radical de c_aux y c₁ es también inmediato, dado que ambas circunferencias se cortan. 8- El Centro radical C_rad de c₁ y el haz solución estará en la intersección del eje radical del haz solución con el eje radical determinado en los pasos 6 y 7. 9- El radio de la circunferencia ortogonal c_o, k_o, es inmediato, al saberse que ha de pasar por los puntos límites del haz solución. 10- La circunferencia c_o ortogonal al haz solución y a c₁ define 11- Los puntos de tangencia T₁ y T₂ sobre c₁. 12- Los diámetros de c₁ por los puntos de tangencia T₁ y T₂ son lugar geométrico de los centros de las soluciones O₁ y O₂. 13- La intersección de los lugares geométricos con la recta base determina dichos centros, y se sabe que las soluciones s₁ y s₂ han de pasar por los puntos de tangencia T₁ y T₂. 14- Nótese que al ser dobles las soluciones en la inversión I₊ es trivial determinar los puntos de tangencia en c₁, T'₁ y T'₂, al ser los inversos de T₁ y T₂.