③ 정칙 곡선
평면 곡선의 미분 가능성은 곡선의 매개화에 의해 결정된다. 두 평면 곡선
을 살펴보자.
[문제 1]
평면 곡선 가 에서 미분 불가능한 곡선임을 보이시오. 또 평면 곡선 가 미분 가능한 곡선임을 보이시오.
두 평면 곡선 는 같은 모양의 곡선을 나타내지만 각각의 미분 가능성은 다르다. 평면 곡선 는 모든 구간에서 일정한 속력을 가지지만 에서 진행 방향이 바뀌므로 속도가 정의되지 않아 미분 불가능하다. 평면 곡선 는 에서 속도가 이 되므로 모든 에서 미분 가능하다.
이처럼 속도가 인 지점이 존재하는 평면 곡선은 미분 가능하더라도 뾰족한 점을 가질 수 있다. 다음은 뾰족한 점을 가지는 미분 가능한 곡선 의 그래프다.
곡선의 속도가 이 되는 지점에서는 곡선 진행 방향의 급격한 변화를 제어하기 어렵다. 따라서 부드럽게 진행하는 곡선을 다룰 수 있도록 속도가 이 되는 지점이 존재하지 않는 곡선만을 분석의 대상으로 한다.
[정의 1] 정칙곡선
미분가능한 곡선 에 대하여 가 연속이고 모든 실수 에 대하여 일 때, 곡선 를 정칙 곡선(regular curve)이라고 한다.
[문제 2]
평면 곡선 가 정칙 곡선임을 보이시오.