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複素周回積分は展開と留数を使おう

1。複素関数と留数

このワークシートはMath by Codeの一部です。 <特異点と留数> 前回 f(z)=g(z)/(z-a)のとき 「CDにおけるf(z)の周回積分=CrDにおけるf(z)の周回積分」 を考えて Cr上のz=a+reについて、dz=dz/dθ dθ= ir edθから、1/(z-a)=1/re、 1/(z-a)dz = 1/re ir edθ= i dθとなる。だから、r→0のとき、極限は ∫C g(z)/(z-a) dz=∫Cr g(z)/(z-a) dz=∫0 g(a + re) i dθ→∫0 g(a) i dθ=g(a) i[ θ] 0 =2πi g(a)   C dz=2πi g(a) としたね。 関数f(z)=g(z)/(z-a)がz=aで正則でないときaを特異点(singular point)という。 今回は、 g(z)=f(z)(z-a)の周回積分をしてみよう。 「CDにおけるg(z)の周回積分=CrDにおけるg(z)の周回積分」を考えて Cr上のz=a+reについて、dz=dz/dθ dθ= i redθから、r→0のとき、つまり、 z→aのとき、g(z)=f(z)(z-a)の極限をA=g(a)とすれば、 ∫C g(z)dz=∫Cr g(z) dz=∫0 g(a + re) i redθ→i ∫0 g(a) dθ=iA [ θ] 0 =2πi A   C dz=2πi A このAを留数(residue)という。 留数はこれだけではない。 今回はコーシー積分の定理と公式を利用して、 級数展開と関連付けることで留数をさらに深めていこう。 そして、その事実を実関数の積分の解法につないでみよう。

留数で周回積分しよう

2.テーラー展開と留数の定理

<テーラー展開> 正則関数は実関数と同じくテーラー展開ができます。 くわしく見ていきましょう。 関数f(z)が領域Dで正則で、D内の適当な点aを中心とする半径Rの円Cがある。 CDの点zをとり、zを含むCの同心円でRより小さい半径rの円Crを作ろう。 コーシーの積分表示からf(z)=1/2πi ∫Cr dζ  (コーシー積分公式) 点ζは円Crの周上にあり、点zは円の内部にあるので、|(z-a)/(ζ-a)|<1 等比数列の和の公式からk<1のとき、1/(1-k)=1+k+k2+k3+.............. だから、k=(z-a)/(ζ-a)とおくと、 1/(ζ-z)=1/[(ζ-a)-(z-a)]=1/(ζ-a)*1/(1- k) =1/(ζ-a)[1+k+k2+k3+.............]だから、 f(z)=1/2πi ∫Cr dζ=1/2πi ∫Cr 1/(ζ-a)[1+k+k2+k3+.............]dζ =1/2πi ∫Cr 1/(ζ-a)[1+(z-a)/(ζ-a)+[(z-a)/(ζ-a)]2+[(z-a)/(ζ-a)]3+.............]dζ =Σn=0∞  1/2πi∫Cr (z-a)n    (z-a)の次数より1/(ζ-a)の次数が1多い。 さらに、グルサー公式の変形で、1/2πiC = f(a)(n)/n! となるね。 ・テーラーの級数展開 だから、正則関数f(z)のテーラー級数展開は、 f(z)n=0f(a)(n)/n! (z-a)n= f(a) + f'(a)/1! * (z-a) + f''(a)/2! * (z-a)2 +f'''(a)/3! * (z-a)3+................. 実関数と同じ式だ。 特にa=0とすると、マクローリン級数ができるね。 f(z)n=0f(0)(n)/n! (z)n = f(0) + f'(0)/1! * z + f''(0)/2! * z2 +f'''(0)/3! * z3+................. ・テーラーの定理 正則関数f(z)があるとき、f1(z)=(f(z)-f(a))/(z-a)(z≠aのとき)f'(a)(z=aのときは微分係数)としよう。 これから順次、 f2(z)=(f1(z)-f1(a))/(z-a)(z≠aのとき)f'1(a)(z=aのときは微分係数) f3(z)=(f2(z)-f2(a))/(z-a)(z≠aのとき)f'2(a)(z=aのときは微分係数) ................ fn(z)=(fn-1(z)-fn-1(a))/(z-a)(z≠aのとき)f'n-1(a)(z=aのときは微分係数) としよう。 式変形すると、 f(a)+(z-a)f1(z)=f(z) f1(a)+(z-a)f2(z)=f1(z) f2(a)+(z-a)f3(z)=f2(z) ................ fn-1(a)+(z-a)fn(z)=fn-1(z) これらを順次代入すると、 f(z)=f(a)+(z-a)f1(z) f(z)=f(a)+(z-a)[f1(a)+(z-a)f2(z)] f(z)=f(a)+(z-a)[f1(a)+(z-a)[f2(a)+(z-a)f3(z)]] …… f(z)=f(a)+(z-a)[f1(a)+(z-a)[f2(a)+(z-a)[f3(a)+...................[fn-1(a)+(z-a)fn(z)]]] .... ]]] f(z)= f(a)+(z-a)f1(a)+(z-a)2 f2(a)+(z-a)3 f3(a)+.................+(z-a)n-1 fn-1(a)+(z-a)n fn(z) この式を順次微分してから、両辺にz=aを代入すると、 f'(a)=f1(a) f''(a)=2!f2(a) f'''(a)=3!f3(a) .............. となるので、f(z)のk次の(z-a)kの係数fk(a)=f(k)(a)/k!と置き換えが可能となるね。 ただし、(z-a)nの係数としてのfn(z)はfn(a)ではないので置き換えられない。 f(z)= f(a)+f'(a)/1! *(z-a)+f"(a)/2! *(z-a)2+f '''(a)/3! *(z-a)3+.................+f(n-1)(a)/(n-1)!* (z-a)n-1 +fn(z)(z-a)n 最後の項をF(z)=fn(z)(z-a)nとすると、F(z)も正則関数になるね。 f(z)=f(a) + f'(a)/1! * (z-a) + f''(a)/2! * (z-a)2 +f'''(a)/3! * (z-a)3+.............+f(n-1)(a)/(n-1)!* (z-a)n-1+F(z) をテーラーの定理という。 テーラーの定理のn次の項は、テーラー級数展開のn次以降の無限級数を1つの項にまとめた形だね。 これはこれで、役立つけれど、n次の項だけ係数がf(n)(a)/n!ではなく、fn(z)のままなので、注意しよう。
複素関数f(z)の特異点がaのとき、点aで0でも∞でもない正則関数g(z)を使って, f(z)=g(z)/(z-a)k とかけるとき、複素数f(z)はaでk位(k次)の極(pole)をもつということにします。 言い換えると、f(z)のままでは、aにおいては正則ではありませんが、 g(z)=f(z)*(z-a)kとすることで、特異点が解消されてgは正則になるね。 gは正則関数だから、テーラーの定理から最後の項をG(z)=gn(z)(z-a)nも正則関数で、 g(z)=g(a) + g'(a)/1! * (z-a) + g''(a)/2! * (z-a)2 +g'''(a)/3! * (z-a)3+.............+g(n-1)(a)/(n-1)!* (z-a)n-1+G(z) と展開できるね。 ここで、両辺のすべての項を(z-a)k で割ってみる。 右辺のk次が0次になり、k-1次がー1次、k+1次が1次になる。 g(z)/(z-a)k =g(a) /(z-a)k + g'(a)/1! * (z-a)/(z-a)k + g''(a)/2! * (z-a)2 /(z-a)k +g'''(a)/3! * (z-a)3/(z-a)k ............. +g(n-1)(a)/(n-1)!* (z-a)n-1/(z-a)k +G(z)/(z-a)k f(z)=g(a)* (z-a)-k + g'(a)/1!* (z-a)1-k + ......................... +g(k-1)(a)/(k-1)!* (z-a)-1 +g(k)(a)/k!*(z-a)0 +g(k+1)(a)/3!*(z-a)1 +....................... <留数の定理> ・ここで、正則関数f(z)を周回積分してみよう。 左辺は∫f(z)dz 右辺円C:|z-a|=r(反時計回り)にそった周回積分は、1/(z-a)→2πi、1/(z-a)n→0。べき関数→0だから、 0次以上の項はすべてべき関数の周回積分は正則関数の積分だから0 -2次以下の項はeの周期が2πiだから差は0になる。 -1次の項だけ、∫C 1/(z-a) dz=∫0 r-1 e-iθ i r eiθ dθ = i∫0 1 dθ=i[θ] 0 =2πiとなり0以外に留まる。 留まる数、留数(residue)は1/(z-a)の分子の係数g(k-1)(a)/(k-1)!で、Res(f(z),a)と名付ける。 ∫f(z)dz=∫ g(k-1)(a)/(k-1)! /(z-a) dz =2πi Res(f(z),a) g(k-1)(z)=[f(z)(z-a)k](k-1)だから、 Res(f(z),a) =1/(k-1)! limz→a [f(z)(z-a)k](k-1)これを留数定理という。 ・積分経路がかこむ領域の中に特異点がa1,a2,a3,.....,ajとある場合、それぞれの留数をAj=Res(f(z),aj) とすると、 積分の線形性から、 ∫f(z)dz=2πi (A1+A2+.........+Aj)のように加算できるね。 ・留数の求め方の注意。  特異点によって次数がちがうので、f(z)が同じでもg(z)が変わるということ。  aが1次(1位)の極ならば、微分せずにA=g(a)=limz→a f(z)(z-a)  aがk次(k位)の極ならば、k-1階微分してA=g(k-1)(a)=1/(k-1)! limz→a [f(z)(z-a)k](k-1) <ローラン展開> 2つの円C1:|z-a|=r1とC2:|z-a|=r2(r1>r2)にはさまれた領域Dで正則な関数f(z)は 領域D内の単閉Cとするとき、 f(z)=テーラー展開+特異部=Σk=0ck(z-a)kk=1bk(z-a)-k  (ck= 1/2πi *∫Cf(ζ) (ζ-a)-k-1 dζ 、bk=1/2πi *∫Cf(ζ) (ζ-a)k-1 dζ ) f(z)=Σ-∞bn(z-a)n  bn= dζ このように、テーラー展開を拡張したものをローラン展開といいますね。 詳細は略しますが、C=C1-C2 f(z)=1/2πi *∫C1f(ζ) /(ζ-z)dζ - 1/2πi *∫C2f(ζ) /(ζ-z) dζ 1/(ζ-z)のべき級数展開を第1項に代入したものがテーラー展開でした。 1/(ζ-z)のべき級数展開を第2項に代入したものが特異部になります。 ・ローラン展開でもグルサー公式の変形1/2πiC = f(a)(n)/n! を代入すれば、 f(z)=Σ-∞bn(z-a)n  bn= dζ =.....+b-2/(z-a)2+b-1/(z-a)+b0+b1(z-a)+b2(z-a)2+.................... =.....+b-2/(z-a)2+b-1/(z-a)+f(a) + f'(a)/1! * (z-a) + f''(a)/2! * (z-a)2 +................. f(z)を周回積分すると、 ∫f(z)dz =∫ b-1/(z-a) dz= 2πi A (A=b-1) ・f(z)がaがk位の極なら、f(z)=g(z)/(z-a)kだから、g(z)=f(z)(z-a)k ローラン展開はf(z)=b-k/(z-a)k+.....+b-2/(z-a)2+b-1/(z-a)+b0+b1(z-a)+b2(z-a)2+.................... =φ(z)+b-1/(z-a)+b-2/(z-a)2+......+ b-k/(z-a)k f(z)に(z-a)kをかけるとb-1/(z-a)は(k-1)次式となる。f(z)(z-a)kをk-1階微分すれば、b-1定数で残る。 A=limz→a g(n-1) =limz→a [f(z)(z-a)k](n-1) =b-1

ローラン展開で留数を出そう

留数の和で積分しよう

3.実数積分への複素積分の利用

<実有理関数の積分> 「X8=∫-∞ dx = π 」 を求めるために、留数定理を使ってみよう。 X=∫-rr dxのrを∞にした極限値がX8になる。 C1:実軸上の-rからrまでの線分で、この積分値はXと等しい。 C2:複素平面で半径rの半円|z|=r で、虚部が正、左回りでの積分値をAとする。 C=C1+C2:周回積分の値をBとする。 B=X+A それぞれ、rを∞にした値をX8、A8、B8としよう。 B8=X8+A8 1+z2=(z+i)(z-i)だから、Cでの周回積分はf(z)=1/(1+z2)のとき、g(z)=1/(z+i)とすると、 f(z)=g(z)/(z-i)はz=iが特異点で、1次の極になる。留数はg(i)=1/2i B=2πi[Res[f(i)]= 2πi/2i= π だから、B8=π。 一方、z=re (0≦θ≦π)dz=dz/dθ dθ = i redθ,1/(1+z2)=1/(1+r2ei2θ) とすると、 A=∫C2 f(z) dz=∫0π 1/(1+r2ei2θ) i redθ=i∫0π 1/(1/r+rei2θ) edθだから、r→∞のときA8=A→ 0 以上から、=π-0=π (例) 「X8=∫-∞ dx = π/2 」 X=∫-rr dxのrを∞にした極限値がX8になる。 C1:実軸上の-rからrまでの線分で、この積分値はXと等しい。 C2:複素平面で半径rの半円|z|=r で、虚部が正、左回りでの積分値をAとする。 C=C1+C2:周回積分の値をBとする。 B=X+A それぞれ、rを∞にした値をX8、A8、B8としよう B8=X8+A8 (1+z2)2=(z+i)2(z-i)2だから、Cでの周回積分はf(z)=1/(1+z2)2のとき、g(z)=1/(z+i)2とすると、 f(z)=g(z)/(z-i)2はz=iが特異点で、2次の極になる。留数はlimz→ig'(z)=-2/(i+i)3=-2/(-8i)=1/4i B=2πi[Res[f(i)]= 2πi/4i= π/2 だから、B8=π/2。 上と同じようにして、A8=A→0 。 以上から、X8=π/2-0=π/2

有理関数の積分を実験する。

<実三角関数の積分> 「X=∫01/(5-3cosθ)dθ=π/2」 を求めるために関数とパラメータの置換をする。それから、留数を使おう。 円C:|z|=1 の周上の点z=e(0≦θ≦2π)について、 cosθ=1/2(z+1/z) dz=dz/dθ dθ=i eiθ dθ=i z dθだから、dθ=1/iz dz X=∫C 1/(5-3/2(z+1/z)) 1/iz dz = ∫C 2i/(10z-3(z2+1)) (-1) dz = ∫C 2i/(3z2 -10z +3) dz=∫C 2i/(3z -1)(z -3) dz =∫C 2/3* i/[(z -1/3)(z -3)] dz 分母=0となるz=3,z=1/3のうち 円Cの内部領域にあるのはz=1/3 z=1/3が特異点で、1次の極だ。 g(z)=2/3* i/(z -3)とおくと、X=∫C g(z)/(z -1/3) dzだから、留数はg(1/3)=2/3* i/(1/3-3)=-i/4。 X=2πi*(-i/4)=π/2 (例) 「Y=∫01/(5+3cosθ)dθ=π/2」 関数とパラメータの置換をしてから、留数を使おう。 円C:|z|=1 の周上の点z=e(0≦θ≦2π)について、 cosθ=1/2(z+1/z) dz=dz/dθ dθ=i eiθ dθ=i z dθだから、dθ=1/iz dz X=∫C 1/(5+3/2(z+1/z)) 1/iz dz = ∫C 2/i(10z+3(z2+1)) dz = ∫C 2/i (3z2 +10z +3) dz=∫C 2/i (3z +1)(z +3) dz =∫C 2/ i[3 (z +1/3)(z +3)] dz 分母=0となるz=-3,z=-1/3のうち 円Cの内部領域にあるのはz=-1/3 z=-1/3が特異点で、1次の極だ。 g(z)=2/[i3(z +3)]とおくと、X=∫C g(z)/(z +1/3) dzだから、留数はg(-1/3)=2/[i 3 (-1/3+3)]=1/4i 。 X=2πi*(1/4i)=π/2 (例) 「Y=∫01/(2+sinθ)dθ=2/√3 * π」 関数とパラメータの置換をしてから、留数を使おう。 円C:|z|=1 の周上の点z=e(0≦θ≦2π)について、 sinθ=1/2i(z-1/z) dz=dz/dθ dθ=i eiθ dθ=i z dθだから、dθ=1/iz dz X=∫C 1/(2+1/2i(z-1/z)) 1/iz dz =∫C 2/(4iz+z(z-1/z))/iz dz =∫C 2/(z2+4iz-1) dz ( ( )=0の解z=-2i±√[(2i)2+1]=-2i±√3i=(-2±√3) i = α、β (α<β)とする) 分母=0となるz=α、βのうち 円Cの内部領域にあるのはz=β、z=βが特異点で、1次の極だ。 g(z)=2/(z-α)とおくと、X=∫C g(z)/(z-β) dzだから、留数はg(β)=2/(β-α)=2/2√3i =1/√3i X=2πi*(√3i)=2/√3π

実三角関数の積分