Función definida a trozos
Las funciones definidas a trozos son aquellas que tienen distinta expresión analítica para distintos tramos (o valores individuales) de su dominio. Los intervalos en los que se aplica cada expresión distinta de la función están delimitados por puntos frontera.
Este tipo de funciones son muy útiles para estudiar conceptos como el valor absoluto, la continuidad o los límites laterales. De hecho, algún tipo de discontinuidad sólo puede darse en funciones definidas a trozos.
Durante el estudio de una función de este tipo hay que tener en cuenta, entre otras cosas, a qué intervalo pertenece cada punto frontera (el de su derecha o el de su izquierda).
Con esta construcción podrás visualizar el concepto a través de su representación gráfica y practicar de forma interactiva para entender mejor tanto las funciones definidas a trozos como algunas ideas sobre discontinuidades y límites. La función con la que vas a trabajar tiene tres trozos, suficientes para el objetivo de la construcción.
Hay una breve explicación del funcionamiento general de las construcciones aquí. Puedes consultarla si lo necesitas.
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| Se te presentan dos modos de trabajo con paneles de control intercambiables, uno más sencillo para explorar el concepto y otro más completo para investigar de forma interactiva. Puedes cambiar de un modo al otro con este conmutador |
Modo EXPLORACIÓN
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| Enciende este lado del conmutador para entrar en el modo exploración. |
 | Usa los botones para mostrar u ocultar tanto la función definida a trozos como las funciones correspondientes a cada trozo, que se han definido de forma independiente. |
| | Se mostrarán las gráficas y las expresiones analíticas de cada una. Observa que la función definida a trozos no realiza cambios sobre las expresiones que la componen, sino sobre los tramos en los que están definidas. Fíjate también en que se han usado círculos huecos y macizos para indicar a qué tramo pertenece cada punto frontera. En una de las fronteras estos círculos no aparecen dado que la función en ese valor de x es continua. |
Modo INTERACTIVO
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| Enciende este lado del conmutador para entrar en el modo interactivo. El icono del botón tiene la forma de los diales que ves en la zona de gráficas. |
| | Se muestra la gráfica de la función definida a trozos inicial, la que se usa en el modo exploración. Al igual que en ese modo, se ven los puntos frontera. La primera diferencia clara es que hay unos diales que te permiten mover las fronteras y unas líneas verticales para ayudarte a delimitarlas (y que no forman parte de la gráfica de la función). El panel de control también cambia mucho. Entre otros elementos, verás tres botones en los que están escritas las expresiones analíticas de cada trozo de la función y, debajo de ellos, unos puntos huecos y otros macizos. Es importante que practiques con este modo antes de empezar a trabajar las cuestiones que se plantean al final de la página |
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| Mueve los diales arrastrándolos con el ratón o seleccionándolos y usando las teclas de flecha del teclado. Las gráficas de los distintos tramos se adaptarán a los límites que impongas. Puedes hacerlos coincidir, con lo que el trozo central sólo abarcará un valor (o ninguno) de la abscisa. No obstante, fíjate en que no puedes cambiar su orden. El izquierdo dejará de desplazarse cuando lo hagas coincidir con el derecho y viceversa. Si los haces coincidir tendrás que hacer que uno de los dos retroceda para que se muestre el trozo central. |
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| Haz clic en los puntos debajo de los botones principales para indicar a qué trozo pertenece cada punto frontera. Los clics conmutan el estado del punto frontera correspondiente. Podrás hacer que uno de ellos no pertenezca a ningún trozo, pero, evidentemente, no podrás hacer que pertenezca a los dos trozos implicados. Los cambios se reflejan en la gráfica. |
 | Haz clic en los botones principales para cambiar la expresión correspondiente a cada trozo. Puedes elegir una de las que se te ofrecen o escribir la que quieras. También puedes dejarla en blanco, lo que hará que la función no esté definida en ese trozo. |
 | Al hacer clic en uno de estos botones, se muestra la lista desplegable que te permite elegir la nueva expresión… |
| |  … o escribir la que quieras, si eliges la última opción de la lista. No escribas el nombre de la función, sólo la expresión. Puedes escribir la que quieras, incluyendo funciones de GeoGebra si las necesitas. La construcción rechazará las expresiones mal escritas. Si la dejas en blanco, se entenderá que la función no está definida para el tramo en cuestión.
Es importante saber que la escritura debe terminarse pulsando la tecla tabulación, no la tecla intro. |
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| Enciende los botones asíntotas de cada trozo para que se muestren las que tenga cada expresión. Hay que saber que:
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| Haz clic en el botón reiniciar para devolver a la función su configuración inicial. |
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| Enciende el botón ver para que se muestre la expresión analítica de la función completa en la zona de gráficas. La expresión refleja el estado actual de la función, incluyendo a qué tramo pertenece (o no) cada punto frontera. |
Cuestiones para contestar durante la investigación
- Si un trozo tiene una asíntota vertical en un valor de la abscisa que coincide con una frontera, ¿de qué depende que la asíntota se dibuje o no?
- Consigue que la función muestre una asíntota oblicua en el tercer y en el segundo tramo.
- Consigue que la función muestre una asíntota horizontal en el primer y en el segundo tramo.
- Haz los cambios necesarios para que la gráfica muestre:
- una discontinuidad evitable de punto ausente. Hay más de una forma de hacerlo.
- una discontinuidad evitable de punto desplazado. Hay más de una forma de hacerlo.
- una discontinuidad de salto finito. Hay varias formas de hacerlo.
- una discontinuidad de salto infinito. Hay varias formas de hacerlo.
- un punto para el que exista el límite y sea finito, pero la función no sea continua en dicho punto.
- un punto para el que exista el límite y sea infinito.
- un punto para el que exista la función, pero no el límite, aunque sí existan los límites laterales.