La circonferenza NON è una funzione

Argomento:
Circonferenza
RICHIAMO SULLE FUNZIONI; INDICARE ESPLICITAMENTE IL RISULTATO Abbiamo già avuto occasione di parlare delle funzioni con sono relazioni che ad un valore di input, solitamente indicato con la , associano uno ed un solo valore di output, indicato con la . Questo tipo di relazione è molto chiara quando viene esplicitata la , cioè l'equazione della funzione è invertita in modo da isolare il risultato . Ad esempio la retta è una funzione, e lo si vede chiaramente esplicitando la Nell'ultima espressione in rosso è indicato chiaramente (cioè in modo esplicito) come calcolare il risultato , e dato che ognuna delle operazioni coinvolte dà un risultato univoco, possiamo dire che ad ogni valore di corrisponderà un solo risultato. IL CASO DELLA CIRCONFERENZA La circonferenza NON è una funzione. Prendiamo infatti una circonferenza di centro e raggio ; essa per definizione ha equazione: che svolgendo i soliti calcoli e mettendo in ordine diventa Volendo ora esplicitare, cioè trovare come si calcola la lettera , portiamo tutto il resto dall'altra parte ed estraiamo la radice: Si vede chiaramente che ad ogni corrispondono due valori di , uno positivo ed uno negativo.
Ricavando la dall'equazione della circonferenza abbiamo ottenuto DUE formule. Per ogni valore della , quindi otterremo DUE risultati che in questo caso sono uno l'opposto dell'altro. Otteniamo quindi un grafico formato da due tratti "alternativi", che evidenziano l'ambiguità del risultato: dato un qualsiasi valore della otteniamo un risultato sulla curva verde ed uno su quella blu, e non abbiamo nessuna ragione per sceglierne uno piuttosto che l'altro Notiamo tra l'altro che la funzione è definita solo per i valori di che rispettano le C.E. dell'espressione, cioè Questa è una disequazione di II grado che va risolta con il metodo della parabola (o studio del segno); puoi verificare che ha come soluzione , cioè le per cui la circonferenza esiste (il DOMINIO dell'espressione).
Nella figura si vede che entrambe le funzioni hanno delle C.E. che limitano i valori delle accettabili, cioè quelle che restituiscono un risultato valido (cancellate in rosso le che non rispettano le C.E.). Vengono mostrati, con le frecce dei due colori, i due risultati per , a ribadire che la circonferenza NON è una funzione in quanto non fornisce un risultato univoco per la .
    UN ESEMPIO PIÙ COMPLESSO Consideriamo ora una circonferenza di centro e raggio ; la sua equazione è che svolgendo i soliti calcoli e mettendo in ordine diventa Vogliamo esplicitare la , cioè trovarla: in altre parole dobbiamo risolvere l'equazione rispetto alla lettera . Consideriamo allora QUESTA LETTERA come la nostra incognita e tutto il resto come numeri (ovvero parametri): ordiniamo quindi per potenze decrescenti di : Abbiamo colorato in rosso la per mettere in evidenza la lettera che stiamo cercando; vediamo così che rispetto alla si tratta di un'equazione di II° grado rispetto alla quale la è un semplice parametro, cioè un numero: NON è la lettera che ci interessa in questo momento. Mettiamo in evidenza i coefficienti di questa equazione. Troviamo l'espressione corrispondente alla applicando la formula (usiamo la ridotta): Vediamo che otteniamo un'espressione simile a quella dell'esempio precedente. Abbiamo un doppio risultato:
    1. parte da (la del centro) e gli SOMMA una quantità
    2. parte sempre da ma gli TOGLIE la stessa quantità
    evidentemente il primo risultato descrive la semicirconferenza superiore ed il secondo quella inferiore. Puoi verificarlo inserendo queste espressioni in Geogebra o un'altra calcolatrice grafica, riproducendo il grafico qui sotto.
    Il dominio della funzione è dato dalle che soddisfano le C.E. che con il metodo della parabola dà come risultati , cioè le che si ottengono partendo dalla del centro e spostandosi in avanti ed all'indietro al massimo della misura del raggio. LA STESSA COSA IN MODO PIÙ SEMPLICE Notiamo che la stessa cosa si può ottenere in modo più semplice partendo dalla equazione della circonferenza data dalla sua definizione. Se infatti consideriamo l'equazione ed eleviamo al quadrato otteniamo: Questa equazione è molto più facile da invertire: portiamo il termine a secondo membro e ricaviamo la : Svolgendo i conti dentro la radice otteniamo la stessa identica espressione di prima. ORA PROVA TU Calcola la funzione corrispondente alla semicirconferenza in figura. Verifica che il suo dominio sia limitato alle per cui è definita la circonferenza. Quanto vale la del punto ?
    DOMANDA 1 Si tratta della parte inferiore della circonferenza di centro e raggio ; iniziamo a scrivere l'equazione di questa circonferenza (eleviamo subito al quadrato per non avere la radice): Invertiamo la formula per ricavare la ed avvicinarci alla forma di una funzione: Il che, portando il dall'altra parte e svolgendo i calcoli, ci porta a Dato che a noi interessa la parte inferiore della circonferenza, dei due possibili risultati prendiamo quello che scende rispetto a , cioè rispetto alla del centro, ed otteniamo la funzione cercata: DOMANDA 2 Il dominio della funzione è definito dalle C.E. della sua espressione, ed in particolare della radice che vi compare: Risolvendo con il metodo della parabola si trova che le che soddisfano le C.E. sono quelle per cui , cioè quelle in cui è effettivamente confinata la nostra semicirconferenza. DOMANDA 3 Per trovare la del punto basta sostituire la sua , che si vede essere dal disegno, nella funzione appena trovata. Il risultato ottenuto è coerente con la posizione del punto nel disegno del problema.
    IL PROBLEMA INVERSO Proviamo ora a capire, utilizzando quanto abbiamo imparato, la forma del grafico della funzione 1) Innanzitutto calcoliamo le C.E. della funzione. L'espressione contiene una radice pari, che darà risultato solo se il suo argomento è positivo o nullo, quindi se Questa disequazione di secondo grado va risolta con il metodo della parabola che dà come soluzioni tutte le fuori da questo intervallo non daranno quindi risultato e vanno rimosse dal piano. 2) Studiamo il segno del risultato, dato che le radici aritmetiche hanno un segno predefinito positivo. Per fare questo è comodo isolare la radice, che ci servirà anche dopo: Il secondo membro è sicuramente negativo o nullo, dato che è una radice (che di per sé dà risultato positivo o nullo) con un meno davanti. Ne consegue che anche il primo membro sarà negativo o nullo, e che quindi Tutte le maggiori di rendono incompatibili i segni dei due membri dell'equazione, e vanno rimosse dal piano. 3) Eleviamo infine i due membri al quadrato (nella versione in cui la radice è isolata in uno di essi) e ricostruiamo la conica originale con il metodo di ricostruzione del quadrato: La math]\large{y}[/math] è già racchiusa in un quadrato di binomio ed è a posto. Spostiamo a primo membro i termini in e completiamoli in modo che appaia un quadrato di binomio bilanciando a secondo membro: Aggiungendo abbiamo ottenuto un quadrato di binomio per la ; abbiamo ovviamente aggiunto la stessa quantità a secondo membro per non cambiare l'equazione. Il risultato finale è quindi Abbiamo quindi una circonferenza: tutti i punti che hanno distanza dal centro pari a . Di questa circonferenza, tuttavia, dobbiamo prendere solo la parte coerente con le condizioni (1) e soprattutto le (2), che l'elevamento al quadrato hanno fatto "sparire".
    Elevando al quadrato la funzione irrazionale e completando il quadrato troviamo [math]\large{(x+3)^2+(y-1)^2=4}[/math], una circonferenza. [color=#0000ff]Ricordando però le condizioni (2)  per garantire un segno coerente tra primo e secondo membro, dobbiamo escludere la parte superiore della circonferenza[/color].

Detto in altri termini, l'equazione [math]\large{y=\mathbf{1-}\sqrt{-6x-5-x^2}}[/math] mette in evidenza che [color=#0000ff]la [math]\large{y}[/math] si ottiene togliendo a [math]\large{1}[/math] una quantità positiva o nulla (il risultato della radice) e quindi non potrà che essere minore o al massimo uguale ad [math]\large{1}[/math][/color].

[color=#ff0000]Le condizioni di esistenza della radice sono coerenti col fatto che il grafico è confinato nel dominio della funzione, ovvero nelle [[/color][color=#ff0000]math]\large{x}[/math] che soddisfano tale C.E.[/color].
    Elevando al quadrato la funzione irrazionale e completando il quadrato troviamo , una circonferenza. Ricordando però le condizioni (2) per garantire un segno coerente tra primo e secondo membro, dobbiamo escludere la parte superiore della circonferenza. Detto in altri termini, l'equazione mette in evidenza che la si ottiene togliendo a una quantità positiva o nulla (il risultato della radice) e quindi non potrà che essere minore o al massimo uguale ad . Le condizioni di esistenza della radice sono coerenti col fatto che il grafico è confinato nel dominio della funzione, ovvero nelle [math]\large{x}[/math] che soddisfano tale C.E..