11° A Interpretación Geométrica de la Derivada

Autor:
Arnulfo Rojas Vidal
Tema:
Derivada
La figura representa el movimiento de una bola lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura y es una función del tiempo y=f(t)=50t-5t^2 (x reemplaza a t, para efectos de GeoGebra). Es importante que reconozcas que la trayectoria seguida por la bola es una recta vertical mientras que la gráfica que modela el lanzamiento de la bola es una función altura - tiempo, representado por una parábola, y que no debes confundir la gráfica de la función con la trayectoria. En la gráfica altura - tiempo podemos calcular la altura si conocemos el tiempo. Pero también podemos encontrar otro tipo de información, como por ejemplo la rapidez del cambio de altura con el tiempo.
Si aumentamos de forma continua el tiempo t verás como la bola se eleva hasta alcanzar una altura máxima, para luego descender hasta llegar al suelo. Para estudiar el movimiento consideramos el instante inicial t y instante final t0. En el tiempo transcurrido t - t0 segundos, la altura ha variado f(t)- f(t0) metros. El cociente f(t)- f(t0)/t - t0 , representa el cambio experimentado por la altura en un segundo, es decir mide la rapidez del cambio de altura y se denomina TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) en el intervalo [t0, t]. La TVM mide la variación de la función relativa a un intervalo, pero no nos informa de cómo fue variando a lo largo del intervalo. Es claro, que la TVM de una función en un intervalo se interpreta como la pendiente de la cuerda correspondiente.

Responde las preguntas utilizando la animación

1. Calcula la altura máxima alcanzada.

2. Determina el tiempo empleado por la pelota en alcanzar la altura máxima.

3. ¿Cuánto tiempo se demora en llegar al suelo?

4. ¿La tasa de variación media TVM es la misma en cualquier intervalo de tiempo? En caso de que no sea así, presenta la explicación de la manera en que va cambiando.

5. Calcula la TVM en los siguientes intervalos [t0=0, t=1]; [t0=1, t=2]; [t0=2, t=4]; [t0=5, t=7]. Activa el botón Pendiente y mueve el punto rojo.

6. ¿Qué significa que encuentres una TVM negativa?

7. Si calculamos la TVM en un intervalo muy pequeño, por ejemplo, [t0=2, t=2,12] ¿qué tal representaría la TVM a la velocidad que lleva la bola en el instante t0=2 segundos?

8. Si la TVM es nula ¿quiere decir que la función no ha variado a lo largo del intervalo? Explica.

9. Determina analíticamente dos instantes de tiempo t0 y t donde la bola esté a 80 metros del suelo. ¿Cuál es la TVM en este intervalo?

En esta escena debes disminuir el valor de h (activa secante y mueve el deslizador negro). Obtendrás distintos intervalos, cada vez menores. De esta forma los puntos B se van acercando al punto A. Observa que la recta AB es secante de la función g(x).

    10. Determina la razón de cambio de la secante (activa el botón). ¿Qué ocurre cuando h es cada vez más pequeño?

    11. Calcula la pendiente de la recta tangente a la función dada en el punto A (2, 80).

    12. Activa el botón Tangente en A. Observa la situación y escribe tus conclusiones.  

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