Costruzione quadrilatero ciclico - 2
Costruire un quadrilatero ciclico convesso, conoscendo le lunghezze dei suoi lati in un ordine dato.
La costruzione con relativa dimostrazione segue quanto proposto in appendice ad un articolo “Inequalities that Imply the Isoperimetric Inequality” di Andrejs Treibergs dell’Università dello Utah reperibile all'indirizzo: https://www.math.utah.edu/~treiberg/isoperim/isop.pdf.
Naturalmente si suppone l’esistenza del quadrilatero convesso e questo si verifica quando la somma delle lunghezze di tre lati è sempre maggiore del quarto lato. Usiamo il metodo di analisi e sintesi.
Supponiamo di aver costruito il quadrilatero ciclico.
Se a > c (se a = c allora il quadrilatero è un trapezio isoscele e se a < c si procede analogamente), le rette AD e BC si incontrano, dalla parte di D, in un punto E. Indichiamo con h la lunghezza di DE e con k la lunghezza di CE. I triangoli AEB e CED risultano simili perché ∠ABE e ∠EDC sono supplementari dello stesso angolo ∠CDA per la proprietà caratteristica dei quadrilateri ciclici di avere gli angoli opposti supplementari. La similitudine dei triangoli implica che:
Si pone il problema di costruire con riga e compasso segmenti di lunghezza h e k. Le operazioni algebriche coinvolte sono tutte elementari ed è necessaria solo un po’ di pazienza perché gli oggetti geometrici da costruire sono molti.
Nella seguente figura dinamica le lunghezze h e k non sono costruite con riga e compasso ma "calcolate". Inoltre vengono considerati anche i casi in cui a = c e a < c.
Se a > c (se a = c allora il quadrilatero è un trapezio isoscele e se a < c si procede analogamente), le rette AD e BC si incontrano, dalla parte di D, in un punto E. Indichiamo con h la lunghezza di DE e con k la lunghezza di CE. I triangoli AEB e CED risultano simili perché ∠ABE e ∠EDC sono supplementari dello stesso angolo ∠CDA per la proprietà caratteristica dei quadrilateri ciclici di avere gli angoli opposti supplementari. La similitudine dei triangoli implica che:
a/c = (h + d)/k e a/c = (k + b)/h.
Risolvendo rispetto alle incognite h e k si ha:h = c(ab + cd)/(a2– c2) e k = c(ad + bc)/(a2 – c2).
In base alle ipotesi su a, b, c e d il triangolo CDE esiste perché sono tutte verificate le disuguaglianze triangolari:h + k > c, c + k > h e c + h > k.
Ad esempio per la prima:h + k = c(ab + bc + ad + bc)/(a2 – c2) = c(a + c)(b + d)/(a2 – c2) = c(b + d)/(a – c) > c
perché b + d + c > a. Ora è possibile costruire il quadrilatero ciclico ABCD:- Costruiamo i punti A e D a distanza d. Sulla retta AD dalla parte di D costruiamo E tale che la distanza tra D e E sia uguale a h.
- Costruiamo il punto C intersezione tra la circonferenza di centro D e raggio c e la circonferenza di centro E e raggio k.
- Costruiamo il punto B intersezione tra la circonferenza di centro A e raggio a e la circonferenza di centro C e raggio b.
Si pone il problema di costruire con riga e compasso segmenti di lunghezza h e k. Le operazioni algebriche coinvolte sono tutte elementari ed è necessaria solo un po’ di pazienza perché gli oggetti geometrici da costruire sono molti.
Nella seguente figura dinamica le lunghezze h e k non sono costruite con riga e compasso ma "calcolate". Inoltre vengono considerati anche i casi in cui a = c e a < c.
La costruzione con riga e compasso del segmento di lunghezza h si trova all'indirizzo https://www.geogebra.org/m/gkkrxwqt. Analogamente si costruisce il segmento di lunghezza k.