Balistique avec résistance proportionnelle à la vitesse
- Auteur :
- H2Fooko
Trajectoire d'un projectile lancé avec une vitesse 'v' selon un angle subissant l'effet de la pesanteur et d'une résistance de type 'frottement visqueux (de coefficient k)'. Selon l'équation cartésienne du cas N°2 du site mathcurve.
Trajectory of a projectile launched with a speed 'v' forming an angle subject to the effect of the gravity and a resistance of type 'viscous friction' (of k coefficient)'. Using the Cartesian equation of the case #2 of the site mathcurve.
On cherche les valeurs des distances x depuis l'emplacement du lancer pour lesquelles l'altitude y du projectile est commune sur la même trajectoire. On étudiera plus loin leur vitesse à ces mêmes altitudes.
We look for the values of the distances x from the location of the launch for which the altitude y of the projectile is common on the same trajectory. We will study later their speed at these same altitudes.
A contempler la trajectoire ci-dessus, deux couples () et () coordonnées de 2 points M0 et M-1 existent sur cette courbe pour peu que leur altitude commune y vérifie l'encadrement suivant : .
Partons de l'équation cartésienne de la courbe: et isolons x en fonction de y. En posant , et alors l'équation ci-dessus s'écrit:
ou encore :
Pour ceux qui ont vu la fonction W de Lambert alors : ce qui, en revenant aux paramètres initiaux grâce aux changements de variables effectués, donne :
Puisque l'argument de la fonction W de Lambert est toujours négatif (compte tenu de la définition de b et c), on distingue 3 cas de figure :- soit alors on a 2 solutions données par les 2 branches : W0 et W-1
- soit alors on a une unique solution correspondant à l'ordonnée ymax de l'apogée de la trajectoire (altitude maximum)
- soit pas de solution (altitude supérieure à l'apogée)
Applications numériques
Etude des vitesses du projectile à une même altitude Y
En reprenant les équations paramétriques du mouvement en fonction du temps, on obtient après une
première dérivation puis une seconde :
Les vitesses horizontale vx et verticale vy décroissent lorsque t augmente (comme l'indique le signe de leur accélération respective ax et ay), mais si la composante horizontale vx décroit vers 0 elle reste toutefois positive, tandis que la composante verticale vy décroit, s'annule puis réaugmente en valeur absolue en changeant de signe :
| | |
| | |
La représentation du calcul du module du vecteur vitesse du projectile (courbe rouge) montre une décroissance jusqu'à l'apogée de la trajectoire (temps tmax calculé plus haut) puis une augmentation sous l'action de la pesanteur.
Un changement de variable similaire à celui qui a été utilisé pour isoler x en fonction de y est utilisé ci-dessous pour isoler t en fonction de y dans l'équation . En posant Y l'altitude commune de M0 et M-1 alors on a :
L'argument de la fonction de Lambert est le même que celui trouvé plus haut, donc il y a aussi 3 cas de figure... on peut préciser les choses :
où W0 et W-1 sont les 2 branches de la fonction W de Lambert.| Et puisque ] [ intervalle où on a 2 solutions, on a : alors : mais aussi : et Pour les modules des vitesses à iso-altitude d'une trajectoire à frottement visqueux ce n'est pas si immédiat de montrer que : |  |
En effet on cherche à déterminer le signe de la différence des normes des vitesses à la même altitude :
Commençons par déterminer la norme de la vitesse en un point de la trajectoire à un instant t quelconque :
(eq 1)
En utilisant les temps à iso-altitude t0 et t-1 calculés ci-dessus dans l'expression de V(M), on obtient :
où
Etudier le signe de revient à comparer :
avec
les radicandes étant positifs (voir (eq 1)), et la fonction racine strictement croissante sur + cela revient à comparer ces radicandes et en regroupant 2 à 2 les mêmes puissances de la fonction W de Lambert cela revient à étudier le signe de :
soit encore le signe de :
car pour ] [
et là je ne sais pas conclure à cause du +2 ????
en effet pour ] [
avec a et b non nuls
Le produit reste donc et j'aimerais bien qu'il soit pour conclure. On devine sur les représentations des 2 branches et sur l'intervalle ] [ que la somme est bien :
Il resterait à étudier la fonction sur l'intervalle ] [.
Si on arrive à montrer que S(x) est continue strictement décroissante sur son intervalle de définition alors S(x) sera inférieure à . La dérivée a déjà été calculée ailleurs, utilisons là :
or
, le dénominateur est >0
Le premier terme du numérateur est >0, le second <0
j'aimerais bien que le second terme soit plus grand en valeur absolue.
Reformulons un peu le numérateur :
Num =
Toujours pas de conclusion possible, là encore à cause d'un "2" ?
Pour aller plus loin utilisons la paramétrisation de W0 et W-1 sur l'intervalle ]-1/e, 0[
Cette paramétrisation a été explicitée par g.kov , dans un échange intitulé "Parametric representation of the real branches W0, W-1 of the Lambert W function" (version: 2019-05-20).
On en tire qu'il existe un terme vérifiant pour tout tel que et dans ce cas le précédent numérateur peut s'écrire :
D'où , donc est strictement décroissante de plus continue sur [[
on peut dire que et donc que puis que soit enfin
De façon laborieuse et probablement pas très rigoureuse on montre que la norme de la vitesse du projectile dans sa phase ascendante est toujours supérieure strictement à sa vitesse à la même altitude dans sa phase descendante (dans le cas d'une trajectoire balistique d'un projectile lancé avec une vitesse initiale non nulle selon une inclinaison quelconque et soumis à la pesanteur et à la résistance de l'air uniquement). In a laborious and probably not very rigorous way, we show that the norm of the velocity of the projectile in its ascending phase is always strictly higher than its velocity at the same altitude in its descending phase (in the case of a ballistic trajectory of a projectile launched with a non-zero initial velocity according to an unspecified inclination and subjected to the gravity and to the air resistance only). P.S. j'essayais de démontrer ce que j'ai répondu à Paul riceur sur prepa.org.