Propositie 11
Constructie van een loodlijn uit een punt dat op een gegeven rechte ligt.
Inleiding
Propositie 11 is de eerste propositie in Boek I waar rechte hoeken aan bod komen. In de Elementen komen geen eenheden voor. Euclides spreekt dus niet over hoeken van 90°. Hij verwijst naar zijn eigen definitie 10: 'Wanneer een rechte lijn op een rechte lijn staat en de aanliggende hoeken gelijk zijn aan elkaar, dan is elk van die hoeken een rechte hoek.'
Oude versie
In een gegeven punt op een gegeven rechte lijn een loodrechte lijn optrekken.
AB is de gegeven rechte lijn en C het gegeven punt daarop. Het is dus vereist vanuit punt C een rechte lijn te trekken loodrecht op de rechte lijn AB.
Neem een willekeurig punt D op AC. Maak CE gelijk aan CD. (prop 3)
Construeer op DE de gelijkzijdige driehoek FDE. (prop 1)
Trek FC. (post 1)
Ik zeg dat de rechte lijn FC loodrecht is getrokken op de gegeven rechte lijn AB vanuit het gegeven punt C.
Omdat DC gelijk is aan CE en CF gemeenschappelijk is, zijn de twee zijden DC en CF gelijk aan de twee zijden EC en CF. De basis DF is gelijk aan de basis FE. Dus is de hoek DCF gelijk aan de hoek ECF. (prop 8)
Dit zijn nevenliggende hoeken. Maar als een rechte lijn op een rechte lijn zo geplaatst wordt dat de nevenliggende hoeken gelijk zijn aan elkaar, dan is elk van die gelijke hoeken een rechte hoek. (def 10)
Dus zijn de hoeken DCF en FCE elk een rechte hoek. De rechte lijn CF is dus loodrecht getrokken op de gegeven rechte lijn AB vanuit het gegeven punt C.