Cuerda vibrante
![[size=85][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Les_Luthiers]L[size=50]ES[/size] L[size=50]UTHIERS[/size][/url][color=#1e84cc] y uno de sus instrumentos ([i]dactilófono[/i] o [i]máquina de tocar[/i])[/color][/size]](https://www.geogebra.org/resource/qc6ejwfu/6no5UMUyaNyuv5ft/material-qc6ejwfu.png)
Hasta el siglo XVIII, la matemática no estaba preparada para determinar el movimiento de una cuerda tensa al pulsarla. El sonido fundamental no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales armónicos) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (el timbre) es diferente para cada instrumento.
Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no varía alternativamente entre un armónico y otro, sino que emite todos los sonidos armónicos al mismo tiempo. He aquí la causa de la intriga entre los matemáticos: ¿cómo se las arregla la cuerda para vibrar de varias formas distintas a la vez?
Taylor, D’Alembert, Daniel Bernoulli y Euler se enredan en grandes discusiones. Por fin, Fourier, en su Teoría analítica del calor, recurre a series trigonométricas que permiten resolver el problema. Resulta que la cuerda no vibra en ninguno de los armónicos, sino en una suma ponderada de ellos. Los coeficientes de la serie de Fourier varían según los distintos armónicos (y por lo tanto, según el timbre del instrumento).
Aunque el problema de la cuerda vibrante parecía resuelto, el modo alegre en que Fourier empleaba sus series provocó la crítica, más que razonable, de otros tres genios matemáticos: Lagrange, Laplace y Abel. El motivo residía en que Fourier manejaba las series sin establecer previamente su convergencia. Esto puede conducir a resultados erróneos. Finalmente, en 1829, Dirichlet establece las condiciones de convergencia de las series de Fourier, lo que marca un hito en la historia de las matemáticas.
Con GeoGebra resulta sencillo modelizar (para facilitar su observación, con amplitudes exageradas y velocidad ralentizada) los primeros términos de estas series, distinguiendo así tanto el comportamiento de cada armónico como su aportación al movimiento compuesto y al sonido de la cuerda.
Si eliges intensidad nula para los armónicos pares o impares, la cuerda adquiere cierta simetría, en todo instante. ¿De qué tipo, en cada caso? ¿Por qué?
Se puede consultar más relaciones entre la música y las matemáticas en el libro de GeoGebra Música y Matemáticas.
Si eliges intensidad nula para los armónicos pares o impares, la cuerda adquiere cierta simetría, en todo instante. ¿De qué tipo, en cada caso? ¿Por qué?
Se puede consultar más relaciones entre la música y las matemáticas en el libro de GeoGebra Música y Matemáticas.
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