TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Una Transformación Geométrica, conocida también como Transformación en el Plano o Movimiento en El Plano, es una función que hace corresponder a cada punto del plano, otro punto del mismo plano al cual se le llama Imagen. En general, una Transformación es una operación geométrica que permite encontrar o construir una nueva figura a partir de una que se ha dado inicialmente. La nueva figura se llama homóloga o transformada de la original. Cuando trabajamos las Transformaciones Geométricas, es importante tener en cuenta la notación a utilizar; entonces si A es un punto del plano α, al que se le aplica una transformación T, entonces A´, que también pertenece al plano α, es su homólogo o transformado si existe una aplicación tal que convierta a A en A´. Esto lo notaremos así              T (A) = A´ y se lee “el homólogo de A por aplicación de la transformación T es A´.” Así, por ejemplo la transformación de un segmento AB es el segmento homólogo A´B´ tal que, a cada uno de los puntos del primero, le corresponde, por la transformación T, un punto del segundo: T (AB) = A´B´ Las transformaciones se clasifican según las propiedades que conservan. Hay dos clases: Transformaciones Isométricas: son aquellas que en el proceso de transformación conservan las distancias (iso, igual; métrica, medida); sólo cambia la posición de las figuras. Estas transformaciones suelen llamarse movimientos en el plano. La figura a la que se aplica este tipo de transformación tienen como transformada, otra que es congruente a ella. Corresponden a este tipo de transformación, las simetrías, la traslación y la rotación. Transformaciones Isomórficas: son aquellas que conservan la forma (iso, igual; mórfica, proviene de forma). En estas transformaciones existe una proporcionalidad entre las medidas de las figuras involucradas. Si se trata de figuras de polígonos, conservan los ángulos. Entre estas transformaciones están la homotecia y la semejanza. Una transformación Isométrica, puede conserva o no, el sentido de las figuras homólogas y con base en esto, la transformación puede ser Directa: cuando conserva el sentido en el plano coordenado. La figura original y la figura transformada se pueden superponer, sin salir del plano. Inversa: cuando los sentidos del original y del homólogo son contrarios. Las figuras homólogas experimentan tipos de movimientos que determinan que no pueden superponerse, sin salir del plano. Este recurso de geogebra pretende ayudar en la comprensión de las transformaciones Isométricas: TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y SIMETRIA AXIAL. Inicialmente te encuentras con las vistas Gráfica y Hoja de Cálculo. Puedes escoger trabajar con un polígono de hasta 12 vértices (12 lados), introduciendo un número entre 3 y 12 en la casilla NÚM. VÉRTICES. Los puntos coordenados del polígono los puedes escribir en la hoja de cálculo en las columnas de color amarillo (columna A para la abscisa -x- y la columna B para la ordenada -y-). Si presionas el botón Nuevo, estas celdas se volverán 0 y entonces introduces tus valores o si lo prefieres escribes sobre la celda. También puedes cambiar, en cualquier momento, las coordenadas de un punto modificando en la hoja de cálculo o moviendo el punto en la vista gráfica, con el mouse. Cuando has escogido el número de vértices y has escrito tus coordenadas, presionas en POLÍGONO para que aparezca la respectiva figura. En la parte inferior derecha hay tres casillas para que selecciones la transformación que quieres trabajar. TRASLACIÓN: necesitas un vector. Los extremos de él los puedes colocar en la hoja de cálculo (Celdas de color verde). Este vector lo puedes modificar en cualquier momento. Das click en INIC TRASL para que puedas ver este movimiento. ROTACIÓN: necesitas un centro de giro (celdas de colo café) y un ángulo (introduces el valor en la casilla ÁNGULO). El ángulo, por defecto viene en radianes entonces es un número entre -6.28 y 6.28. Si deseas que aparezca en grados, cambias la propiedad del ángulo alfa(); en la pestaña Álgebra seleccionas simbólico, ya queda en grados y es un valor entre -360° y 360°. Das click en INIC ROTAC para que puedas ver este movimiento. SIMETRIA AXIAL: necesitas una recta, entonces puedes modificar la que te aparece, cambiando de lugar los puntos P o Q. Das click en INIC SIMET para que puedas ver este movimiento. Recuerda que en cualquier momento puedes cambiar tu polígono y su número de lados,sin tener que empezar de nuevo.

Como pudiste notar en la experiencia con el recurso de geogebra, las dos figuras que se generan conservan la forma y el tamaño. A esto es lo que le llamamos Congruencia de Figuras. Siendo así, las figuras tienen igual perímetro e igual área, sólo ha cambiado su posición en el plano. Algo similar a lo que sucede en tu puesto de trabajo cuando sobre la mesa desplazas tu cuaderno, por ejemplo, tienes traslación o rotación. Si le das vuelta a una hoja, evidencias la simetría axial, que también la puedes experimentar cuando te paras frente al espejo. Si tienes reloj análogo puedes ver el movimiento de rotación que nos enseñan las manecillas de él. A manera de conclusión podemos decir que las transformaciones geométricas son más frecuentes de lo que podemos pensar, en nuestras vidas. Un sencillo ejemplo de esto lo puedes ver en la presentación compartida por  Sandra Dudok el 9 de Julio de 2013, que puedes ver en este enlace https://prezi.com/kdqz22jbycwz/transformaciones-geometricas-en-la-vida-cotidiana/

Las transformaciones geométricas en la cotidianidad

Hay otra transformación geométrica que no se trató con el recurso de Geogebra, es la Homotecia. Esta transformación, a diferencia de las otras, normalmente modifica el tamaño de la figura, manteniendo su forma. Mira el siguiente video

Para que puedas profundizar y mejorar tus habilidades en el tema de las transformaciones geométricas, te recomiendo el siguiente recurso en pdf que fue compartido en internet. Lo consigues en el siguiente enlace http://recursostic.educacion.es/descartes/w

Tenemos el polígono ABCDEA, y realizamos una traslación con base en el vector (-3,5) generando el polígono A'B'C'D'A'. El vector que nos permite volver al polígono original es:

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Un polígono H dado ha sufrido una rotación con centro de giro en el punto O y un ángulo de 70°. A la nueva figura se le aplica una nueva rotación con el mismo centro de giro O y con un ángulo de 120°. La rotación única que necesitaríamos hacer para lograr el mismo efecto, tiene un ángulo de:

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Un polígono H dado ha sufrido cuatro traslaciones consecutivas pasando de la figura H a H', luego de H' a H'', posteriormente de H'' a H''' y finalmente de H''' a H'''', gracias a los vectores v1=(-2,4), v2=(6,-5), v3 y v4=(2,-3). Se puede notar que el punto A tiene coordenadas A=(1 , 4), mientras que el punto A'''' tiene coordenadas A''''=(2 , 3). Según esto, el vector v3 es:

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Realiza en el recurso una rotación de 180° y luego una rotación de -180°. ¿Qué puedes concluir?

Crees que sea posible encontrar la figura que resulta de una rotación, haciendo traslaciones? Justifica tu respuesta

Crees que es posible enontrar la figura que resulta de una traslación aplicando sólo simetría axial? Justifica tu respuesta

¿Cuál de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningún eje de simetría?

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El movimiento de un ascensor panorámico es un ejemplo de:

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Al trasladar el triangulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación (4,1), el vértice homologo correspondiente a B' es:

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Una circunferencia tiene como centro (3,5). Si el vector de traslación de este punto es (-5,1). ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada?

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¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado?

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El triángulo que se obtiene al reflejar el triángulo ABC, ubicado en un plano cartesiano de vértices A(2,0), B(2,7) y C(5,4) con respecto al eje Y, tiene vértices:

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