Einstiegsaufgabe für Optimierungsprobleme

Aufgabe: Mit einem Zaun der Länge 100m soll ein rechteckiger Hühnerhof mit möglichst großem Flächeninhalt eingezäunt werden. Bestimme die Breite x des Hühnerhofs, wenn eine Seite durch eine Mauer begrenzt wird. Wie groß ist die maximale Fläche des Hühnerhofs? Du kannst in der mittleren Abblildung die Fläche des Hühnerstalls durch ziehen an der unteren rechten Ecke variieren. Probiere es aus. Fragen:
  1. Welche Werte kann die Länge des Hühnerstalls annehmen? Gib ein Intervall an.
  2. Wie kann man den Flächeninhalt des Hühnerhofs berechnen?
  3. Welche Bedingungen müssen für Länge und Breite erfüllt sein?
Wenn du die Länge des Hühnerhofes veränderst, verändert sich auch der Flächeninhalt. Rechts im Koordinatensystem ist der Flächeninhalt als Funktion der Länge aufgetragen. Aufträge:
  1. Beobachte zunächst, wie sich der Flächeninhalt verändert. Wie kann man das an der grafischen Darstellung sehen?
  2. Klicke nun auf das Kontrollkästchen Spur an. Ändere danach den Flächeninhalt des Hühnerhofes wieder durch Ziehen an der unteren rechten Ecke. Beschreibe den entstehenden Funktionsgraphen.
Auswertung Gesucht ist eine Funktion, die die zu optimierende Größe (hier: Flächeninhalt) in Abhängigkeit von nur einer Variablen (hier die Länge) beschreibt. Wie kann man eine solche Funktion aufstellen? Wie kann man ihren Maximalwert ermitteln?