Stereographische und elliptische Projektion
Die stereographische Projektion projiziert die Gausssche Zahlenebene auf die Einheitskugel vom Nordpol . Dabei wird die Gausssche Ebene bijektiv auf die Punkte der in punktierten Kugel abgebildet. Die Bilder der Kreise und Geraden sind Ebenenschnitte der Kugel.
Projiziert man die Kugel vom Mittelpunkt auf die Ebene , so erhält man die Elliptische Ebene. Diametrale Punkte auf der Kugel werden auf einen "elliptischen Punkt" abgebildet. "Elliptische Geraden" sind die Schitte mit den Ebenen durch den Mittelpunkt M der Kugel.
Frage: Welche Kegelschnitte in der Elliptischen Ebene gehören zu Kreisen, das heißt zu Ebenenschnitten der Kugel?
Die Ebene kann auch als affine reelle Ebene aufgefasst werden, die Ferngerade ist der projektive Schnitt der Ebenen und. Würde man die Ebne als Euklidische Ebene betrachten, so können die oben angesprochenen Kegelschnitte keine Kreise sein: Darunter sind auch Hyperbeln!
Man kann eine analoge Konstruktion auch für die hyperbolische Ebene durchführen: man projiziere die Kugel orthogonal, also parallel zur -Achse auf die Ebene zurück. "Hyperbolische Geraden" sind die im Innern des Einheitskreises verlaufenden Geradenstücke.
Auch hier kann man fragen, wodurch sich die Kegelschnitte auszeichnen, die als Bilder von Ebenenschnitte der Kugel entstehen.
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