Teorema de Casey
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
El teorema de Casey puede considerarse una generalización de teorema de Ptolomeo, sustituyendo los lados y diagonales de un cuadrilátero inscrito por las longitudes tij de los segmentos de tangentes exteriores de cuatro circunferencias tangentes interiormente a otra.
Las longitudes tij se calculan fácilmente en función de los radios respectivos ri y rj y de la distancis entre sus centros OiOj mediante el teorema de Pitágoras.
La igualdad se conserva si uno o más de los ri son nulos, reduciendose en es caso la circunferencia al punto de tangencia Ti. Si los cuatro radios son nulos, queda el cuadrilátero inscrito T1T2T3T4 y resulta el teorema de Ptolomeo.
Pueden desplazarse los cuatro centros de las circunferencias, manteniendo su orden relativo. Prueba a llevarlos los cuatro hasta la circunferencia, para anular los respectivos radios. Los segmentos de tangentes exteriores de dos circunferencias son iguales entre si, (al igual que los de las interiores), por lo que no hay problema si al desplazar los vértices salta el segmento tij de un lado al otro de las circunferencias.
Los circulos también pueden ser exteriores. Si Oi y Oj estan ambos dentro o fuera de círculo exterior, se toma tij como lel segmento de tangente externa de ambos círculos. Si está uno dentro y otro fuera, tij es el segmento de tangente interna.
El recíproco del teorema de Casey también es cierto: si se cumple la igualdad, los cuatro círculos son tangentes a otro.
En la figura es r = 1.