Differenzialquotient & charakteristisches Dreieck (Lupe)
- Thema:
- Analysis, Differentialrechnung
Gegeben: Eine differenzierbare Funktion f, ein Punkt P auf dem Graphen von f und die Tangente.
Differenziale waren für Leibniz aus immer weiter verkleinerten Differenzen entstandene Objekte, die unendlich klein, aber von Null verschieden sind.
Da man das infinitesimale Dreieck am Punkt P mit den Differenzialen dx-dy-ds auf dem Bildschirm/ auf dem Papier nicht sehen kann, trachtete Leibniz danach, dies durch geeignete Vergrößerungen sichtbar zu machen.
Dazu wird entlang der Tangente ein ähnliches Dreieck (hier orange gefärbt) konstruiert, so dass dx zu Δx vergrößert wird.
Dies ist offensichtlich ein Steigungsdreieck der Tangente. Damit kann man die Steigung der Tangente und die Steigung des Graphen von f im Punkt P, den Differenzialquotienten dy/dx berechnen.
Das ist die klassische Visualisierung.
Desweiteren kann dazu das rechtsseitige Sekantendreieck Δx-Δy-Δs (hier magenta gefärbt) angezeigt werden.
Mit der Funktionenlupe wird ein quadratischer Ausschnitt der Länge 2·Δx um P in das zweite Grafikfenster vergrößert. Das ist ein moderner Ansatz mit dynamischer Visualisierung.
Die Größe von Δx kann am Schieberegler bis 0.0001 verkleinert werden, das orangene Tangentendreieck wird dann immer kleiner.
Beim Verkleinern von Δx sieht zum einen das orangene Tangentendreieck in der Lupe im zweiten Fenster aber immer gleich aus, es scheint sich nicht zu ändern.
Zum zweiten kann man dann in der Lupe die Annäherung des magentafarbigen Sekantendreiecks an das orangene Tangentendreieck sowie die Annäherung der Sekante an die Tangente sehr schön beobachten.
Anmerkung: Dies ist für das charakteristische Dreieck nicht direkt erforderlich, bietet aber den Anschluss an das schulübliche Vorgehen.
Hier wird das moderne Werkzeug Funktionenlupe genutzt, um etwas beliebig Kleines sichtbar zu machen.