(Actividad) Reflexiones. Camino más corto. Principio de Fermat.
Reflexión de un rayo luminoso para pasar de un punto A a un punto B reflejándose en una superficie.
El principio de Fermat establece que la trayectoria de un rayo de luz al pasar de un punto A a un punto B es aquella que requiere el menor tiempo.
La siguiente aplicación interactiva idealiza la situación y muestra la situación en la que un rayo de luz parte del punto A para llegar al punto B reflejándose en la línea horizontal.
La pregunta es cuál es la trayectoria que requiere el menor tiempo, es decir ¿cuál es la trayectoria más corta?
Puedes mover el punto E en el que el rayo que parte de A se refleja y continúa hasta el punto B.
¿Cuál es la posición de E para la que el camino es más corto?
Moviendo E puedes ver la situación: el valor de Longitud, que es la suma de las longitudes de los dos segmentos cambia en función de la posición de E. Eso te permite localizar la posición del punto E.
Puedes hacer la construcción con Geogebra y experimentar un poco.
Después nos podemos concentrar en la gráfica de la parte derecha.
El punto F lo colocamos de manera que su distancia desde el origen hasta su posición sea igual a la medida CE. En vertical levantamos perpendicularmente la longitud AE + EB obtener el punto G.
Observamos cómo varía su posición en función de la posición de E.
Después con la herramienta "lugar geométrico", pinchando primero en G (que es el que va a dibujar) y pinchando después en E (que es de quien depende toda la construcción) obtenemos la gráfica. ¿Dónde está la posición de la gráfica para la que el valor FG es mínimo. Esa posición es la que corresponde a la posición buscada del punto E.
Obtención geométrica del camino más corto, trayectoria real del rayo de luz que va de A a B: obtención de E
- La siguiente aplicación interactiva pretende mostrar la situación: ¿Cómo localizar el punto E para el cual la trayectoria del rayo luminoso es más corta?
- Dibujamos el punto B', simétrico de B respecto del segmento CD.
- Y observamos que lo que queremos minimizar es el valor de la suma AE + EB.
- Por razones de simetría, eso es lo mismo que minimizar AE + EB'.
- Y la pregunta ahora es: ¿Dónde colocamos E para que la suma AE + EB' sea mínima?
- Está claro que E deberá ser el punto de intersección del segmento AB' con CD.
- Por tanto para hacer la construcción basta que dibujemos AB', marquemos el punto de intersección E y dibujemos AE y EB.
- Y listo.
- Puedes hacer la construcción con Geogebra.
- Una vez hecha, mide los ángulos <BED y DEB' y obtén una conclusión importante.
- Guarda tu archivo.