Punts, rectes i vectors
- Autor:
- Josep Lluís Cañadilla
El fet de tenir un sistema de referència al pla (un origen de coordenades i uns eixos de coordenades graduats), ens permet identificar qualsevol punt amb dos valors numèrics anomenats coordenades.
Una recta es pot considerar com un conjunt infinit de punts alineats. Si observem alguns exemples podrem observar que les coordenades d'aquest punts compleixen una certa condició que es pot expressar algèbricament si anomenem x a la primera coordenada i y a la segona coordenada.
També podem fer al revés, pensar en una expressió algèbrica i esbrinar quins són els punts que les seves coordenades la compleixen:
y=x/2 x+y=3 2x+3y-1=0
Si introduïu aquestes expressions a la línia d'entrada, GeoGebra representarà gràficament el punts que compleixen aquestes condicions. Observareu que el resultat en els tres casos anteriors són rectes.
Heu començat a veure la interrelació entre geometria (punts i rectes) i àlgebra (equacions) gràcies al sistema de coordenades cartesià.
El món dels vectors
Donats dos punts A i B, podem pensar en com anar d'un a l'altre o en la posició relativa entre els dos punts. Aquesta idea la podem expressar en forma de vector (fletxa i components).
Un vector fix es caracteritza per tenir un origen, un extrem, una direcció, un sentit i un mòdul. Cada vector fix té uns components, en el nostre cas . És a dir que B està dos quadrets a la dreta i un a munt d'A.
Hi ha una infinitat de vectors fixos que tenen els mateixos components. Tenen la mateixa direcció, sentit i mòdul. Es diferencien en l'origen i extrem.
Parlem de vector lliure quan ens referim a un vector (direcció, sentit i mòdul) sense tenir en compte l'origen i extrem.
Petita activitat
Introduïu a la línia d'entrada:
A=(3,1)
B=(-1,4)
u=vector(A,B)
Equacions de la recta a partir d'un punt i d'un vector
Els vectors lliures es poden sumar, restar i multiplicar per un nombre, com ja sabeu.
Donat un punt P, podem pensar en el vector . Les seves components coincideixen amb les coordenades del punt. Si al vector i sumem un cert nombre de vegades el vector obtindrem vectors amb extrems sobre una recta.
Això ens porta a expressar de forma algèbrica la condició que compleixen les coordenades els punts d'aquesta recta: (x,y) = (1,3) + a (2,1). Aquesta equació s'anomena equació vectorial. A partir d'aquesta equació podem anar traient altres maneres d'expressar aquesta condició:
equacions paramètriques
equació contínua
x - 2y + 5 = 0 equació general
Així, un punt i un vector determinen una recta. Aquesta recta passa pel punt i té la direcció del vector. També, una recta ve determinat per un punt i un vector director. Això permet determinar les rectes mitjançant equacions com les anteriors.
A GeoGebra podem crear una recta mitjançant les eines, la seva equació o el comandament recta( ):
recta (punt, punt)
recta (punt, vector)
recta (punt, recta)
Treballar amb rectes
GeoGebra permet, mitjançant eines i/o comandaments:
- Crear rectes paral·leles i perpendiculars: Recta(A,f) i Perpendicular(A,f)
- Establir la posició relativa (es tallen, són paral·leles o perpendiculars):
SónIguals(recta, recta)
SónParaleles(recta, recta)
SónPerpendiculars(recta, recta)
- Trobar el punt de tall de dues rectes: Intersecció(recta, recta)
- Mesurar distàncies (d'un punt a una recta o d'una recta a una altra recta): Distància(objecte, objecte)
- Mesurar l'angle que formen dos vectors o dues rectes: Angle(recta, recta) o Angle(vector, vector)
- Trobar el punt mig de dos punts: PuntMitjà(punt,punt)
Operacions amb vectors
GeoGebra permet fer càlculs amb vectors des de la línia de comandes:
- Suma: u+v
- Recta: u-v
- Producte per un nombre: 3*u o 3u
- Combinacions lineals: 2u-4v
- Producte escalar: u*v
Tasca 1
Representa les rectes següents:
a) 2x+y=-2
b) (2-t,3-4t)
c)
d) recta que passa pel punt P(2,-7) i té com a vector director u=(3,-4)
Tasca 2
Representa la recta r: x-2y+1=0, una recta s paral·lela a r que passi pel punt P(-2,7) i una recta t que passi pel punt P i que sigui perpendicular a r.
Tasca 3
a) Troba la distància del punt A(3,4) a la recta r: 3x+5y-8=0.
b) Quin angle formen les rectes r: 4x-y+3=0 i s: -x+y+2=0.
Tasca 4
a) Esbrina què fa el comandament Versor(recta)
b) Esbrina què fa el comandament VersorPerpendicular(vector)
c) Troba els vectors que siguin perpendiculars a i que tinguin el mateix mòdul que
Tasca 5
Dos vèrtex no consecutius d'un rombe estan als punts (3,1) i (9,9), i un dels costats és paral·lel a la recta (5+t,-1-2t). Troba les coordenades dels altres vèrtex, la longitud del costat i l'àrea.
Tasca 6
Determina un punt a l'eix d'abscisses que estigui a la mateixa distància del punt A(5,4) que de la recta r:
Tasca 7
Troba l'equació d'una recta r que passi pels punts A(5,-4) i B(3,6) i, després, l'equació d'una recta s paral·lela a r i que estigui a 8 unitats de distància.