Unendliche Reihen
In diesem Kapitel wollen wir der Frage nachgehen, ob es Sinn macht, einer unendlichen Folge eine Summe zuzuordnen.
In manchen Fällen ergibt dies offensichtlich keinen Sinn. Zum Beispiel wächst die unendliche Reihe
1 + 2 + 3 + 4 + 5 ...
über alle Schranken und besitzt sicher keine endliche Summe.
Dieser Grenzwert wird Summe der unendlichen geometrischen Reihe genannt.
Für diesen Grenzwert (=Summe) gilt folgender Satz:
Satz:
Besitzt eine unendliche geometrische Folge (b1, b2, b3, ... ) den Quotienten q mit |q| < 1, dann gilt für die Summe der zugehörigen unendlichen geometrischen Reihe b1 + b2 + b3 +... :
S = b1.
Beweis:
Wir suchen den Grenzwert
Sn = b1 + b2 + b3 +... + bn = b1 + b1.q + b1 .q2 +... + b1 .qn-1 = b1.(1 + q + .q2 +... + qn-1) = b1.
Wegen |q| < 1 ist = 0.
Damit folgt:
| Betrachten wir allerdings die Folge bn = b1.0,5n-1 und berechnen wir einige Folgenglieder: b1=1; b2= ; b3 = ; b4= ; ... Die Folgenglieder nähern sich dem Wert 0. Summiert man alle Folgenglieder bn schrittweise und stellt sie graphisch als Flächeninhalt Flächen dar, so sieht man, dass das Rechteck mit der Länge 2 und der Breite 1 niemals voll wird. Es gibt also einen Grenzwert für den Flächeninhalt der derart entstehenden Fläche. Man der nebenstehenden Abbildung entnehmen, dass gilt: 1 + ...= 2 |
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Aufgaben:
1. Ist die nachfolgende geometrische Reihe konvergent? Wenn ja, gib ihre Summe an.
a. 1 + 22 + 23 + ...
b.
c. 5 - 5.0,1 + 5.0,12 -5.0,13 ...
Löse die Beispiele 8.16, 8.19, 8.21 aus dem Buch.