Mosaicos: grupo 3 (*x, cm)

Autor:
Rafael Losada Liste
Tema(s):
Construcciones, Figuras planas o Formas, Reflejo o Reflexión, Rotación, Simetría, Transformacionse geométricas, Translación
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Isometrías. Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro Cambio de sistema de referencia. Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los grupos de isometrías de los mosaicos. Es recomendable que sigas el orden numérico de los grupos. En esta actividad explorarás el grupo 3 (*x, cm). Es el primero de los dos grupos de mosaicos que se pueden crear con azulejos con forma de rombo, además de aquellos que ya hemos visto que se pueden formar con romboides (pues podemos considerar un rombo como un caso particular de romboide). Es decir, además de trasladar el azulejo o rotar antes 180º el motivo decorativo dentro del azulejo (grupos o y 2222), ahora, gracias a la mayor simetría del rombo, aparecen dos grupos posibles más, los grupos *x y 2*22.

1. Variando de posición el vértice de la celda primitiva (punto verde), ¿puede el azulejo tomar una forma cuadrada? ¿Y rectangular no cuadrada?

2. La parte blanca del azulejo donde colocamos el motivo decorativo (el cisne) se denomina "Celda primitiva". En este caso, esta celda es la mitad (1/2) del azulejo. Desactiva y activa esa casilla para ver el efecto producido. Explica cómo se ha dividido el azulejo en dos partes.

3. Deja activada la casilla "Celda primitiva" y activa las casillas "Aplicar simetrías" y Azulejo. Describe qué sucede y por qué. ¿Qué tipo de simetría se ha aplicado?

4. Activa la casilla "Vectores de traslación". Muévelos por el punto medio verde. ¿Qué indican esos vectores? ¿Crees que hay más direcciones en las que se pueda aplicar una traslación? ¿Podrían ser los vectores de traslación paralelos a los bordes del azulejo?

5. Desactiva la casilla "Vectores de traslación". Al activar la casilla "Centros de rotación", no sucede nada. ¿Por qué?

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión", ¿qué sucede? ¿Dónde aparecen las rectas violetas? ¿Por qué?

7. Desactiva la casilla "Ejes de reflexión" y activa la casilla "Copiar parte del mosaico". Mueve la copia desplazando la imagen de flechas rojas. ¿Cuánto tienes que desplazar la copia para que vuelva a coincidir con el original? ¿Cómo se llama la isometría que corresponde a esa simetría por desplazamiento?

8. Activa la casilla Centrar para volver la copia a su posición inicial. Activa la casilla "Rotar cierto ángulo". ¿Puedes encontrar algún ángulo distinto de 0º o 360º para el cual la copia coincida exactamente con el original?

9. Desactiva las casillas "Centrar" y "Rotar cierto ángulo". Activa la casilla "Reflejar en la horizontal". ¿Qué representa el segmento violeta? ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué?

10. Desactiva la casilla "Reflejar en la horizontal" y activa la casilla "Reflexión con desplazamiento". ¿Qué significa la línea discontinua violeta? ¿Puedes desplazar la imagen de las flechas rojas hasta hacer coincidir exactamente la copia con el original? ¿Dónde debes colocar las flechas rojas para lograrlo?

11. Describe con tus propias palabras que significa y cómo se consigue una "reflexión con desplazamiento".

12. Al crear el azulejo no hemos usado una reflexión con desplazamiento (solo usamos una reflexión). ¿A qué crees que se debe entonces la presencia de esa reflexión desplazada en el mosaico?

13. Si efectuaras dos reflexiones seguidas de la copia, ¿qué obtendrías? ¿A qué tipo de isometría equivale una composición de dos reflexiones paralelas?

14. Si efectuaras dos reflexiones desplazadas seguidas de la copia, ¿qué obtendrías? ¿A qué tipo de isometría equivale una composición de dos reflexiones desplazadas?

15. ¿Qué sucedería si reflejaras primero la copia y luego realizaras una reflexión desplazada? ¿Y si, al revés, primero hicieras una reflexión desplazada y luego la reflejaras?

16. Escribe todos los tipos de isometrías presentes en este grupo *x.

17. Desactiva las casillas "Celda primitiva", "Aplicar simetrías" y "Copiar parte del mosaico". Activa la casilla "Dibujo libre" y la casilla Rastro. Realiza varios diseños de mosaicos (el lápiz se coge por su extremo superior) y observa el tipo de simetría que aparece en todos ellos, independientemente del motivo decorativo que dibujes. Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss

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