Allgemeines Iterationsverfahren (Fixpunktverfahren)

Author:: Andreas Lindner

Um die Gleichung f(x) = 0 zu lösen bzw. die Nullstellen der Funktion f mit dem allgemeinen Iterationsverfahren zu bestimmen, muss sie auf die Form

gebracht werden. Ist x* eine Lösung von

, dann ist x* auch eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Allgemeines Iterationsverfahren

Lege einen geeigneten Startwert fest und berechne den Näherungswert mit
durch Fortsetzen der Iteration mit ergibt sich eine Folge von Näherungswerten

Hinreichendes Konvergenzkriterium Besitzt die Gelichung

im Intervall [a; b] die Lösung x* und ist

differenzierbar mit |φ'(x)| < 1 in [a; b], so konvergiert die durch

definierte Folge gegen x*. Beachte, dass die Bedingungen in diesem Fall hinreichend, aber nicht notwendig sind. Beispiel Berechne näherungsweise die Lösung der Gleichung a·x³ + b·x² + c = 0. Lösung (1) Die Gleichung kann umgeformt werden zu

(2) Die Gleichung kann aber auch umgeformt werden zu

Aufgabe Verändere den Startwert und beobachte die Auswirkungen. Gib die andere Möglichkeit für die Funktion

in Abhängigkeit von den Koeffizienten a, b und c in das Eingabefeld ein und untersuche das Lösungsverhalten. Gegen welchen Fixpunkt konvergiert das Verfahren nun?

Andreas Lindner Literatur Duden: Basiswissen Schule, Mathematik Arbitur, PAETEC und Bibliographisches Institut 2003

Allgemeines Iterationsverfahren (Fixpunktverfahren)

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