Allgemeines Iterationsverfahren (Fixpunktverfahren)

Autor:
Andreas Lindner
Thema:
Gleichungen, Folgen und Reihen
Um die Gleichung f(x) = 0 zu lösen bzw. die Nullstellen der Funktion f mit dem allgemeinen Iterationsverfahren zu bestimmen, muss sie auf die Form gebracht werden. Ist x* eine Lösung von , dann ist x* auch eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Allgemeines Iterationsverfahren
  • Lege einen geeigneten Startwert fest und berechne den Näherungswert mit
  • durch Fortsetzen der Iteration mit ergibt sich eine Folge von Näherungswerten
Hinreichendes Konvergenzkriterium Besitzt die Gelichung im Intervall [a; b] die Lösung x* und ist differenzierbar mit |φ'(x)| < 1 in [a; b], so konvergiert die durch definierte Folge gegen x*. Beachte, dass die Bedingungen in diesem Fall hinreichend, aber nicht notwendig sind. Beispiel Berechne näherungsweise die Lösung der Gleichung a·x³ + b·x² + c = 0. Lösung (1) Die Gleichung kann umgeformt werden zu (2) Die Gleichung kann aber auch umgeformt werden zu Aufgabe Verändere den Startwert und beobachte die Auswirkungen. Gib die andere Möglichkeit für die Funktion in Abhängigkeit von den Koeffizienten a, b und c in das Eingabefeld ein und untersuche das Lösungsverhalten. Gegen welchen Fixpunkt konvergiert das Verfahren nun?
Andreas Lindner Literatur Duden: Basiswissen Schule, Mathematik Arbitur, PAETEC und Bibliographisches Institut 2003