Sección 1.3 - Puntos de interés
Circuncentro
El circuncentro es uno de los puntos ya vistos, pero volveremos a definirlo.
Definición: Llamamos circuncentro al centro del círculo que está circunscrito en un triángulo. Este se forma por los bisectores perpendiculares del triángulo, y llamamos a este punto O en la siguiente figura, al igual que al radio R.
Teorema de medianas en un triángulo
Un triángulo es disecado por sus medianas en 6 triángulos pequeños con áreas iguales.
Demostración: Observemos la siguiente figura:
Sea G el punto en donde las medianas se intersecan, llamado centroide. Ya que son medianas, tenemos que , y .
Notemos que ya que los triángulos tienen bases iguales y misma altura. Por tanto, a ambos les denotamos . Por la misma razón, tenemos y , a las cuales denotamos & .
Pero notemos que o sea, , por tanto, . Similarmente, donde . Por lo tanto, .
Teorema de trisección
Las medianas de un triángulo se dividen una a otra en la razón 2:1, en otras palabras, las medianas de un triángulo se "trisecan".
Demostración:
Continuando examinando la figura anterior, notamos que . Como estos triángulos tienen la misma altura, sigue que . Similarmente, y .
Por lo tanto, las medianas de un triángulo se dividen una a otra en la razón 2:1.
Altura
Las cevianas , , en la siguiente figura, perpendiculares a , , , respectivamente, se les llaman las alturas de . Vemos que son concurrentes por el converso del Teorema de Ceva. Su punto concurrente, H, es llamado el ortocentro.
D, E, y F son los pies de las alturas, al unirlas creamos el que se denomina el triángulo órtico.
Teorema de los bisectores de ángulos
Cada bisector angular de un triángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes (en medida).
Demostración: Observemos la siguiente figura,
Otro conjunto de cevianas importantes son los tres bisectores angulares. La figura muestra el bisector ángular AL. Si aplicamos el teorema de Ley de Senos a los dos triángulos y , en donde sus ángulos L son sumplementarios y tienen senos iguales, obtenemos:
, , por tanto,
Como podemos llegar a resultados similares con los bisectores angulares de los ángulos B y C, hemos demostrado el teorema.
Teorema de concurrencia bisectores angulares
Los bisectores angulares internos de los tres ángulos de un triángulo son concurrentes.
Demostración: Observemos la siguiente figura,
Cualquier punto en AL (de la figura previa a la mostrada) es equidistante a CA y AB. Similarmente, cualquier punto en el bisector angular de B es equidistante de AB y BC. Por tanto, el punto I (en la figura mostrada) donde esos bisectores se conectan está a distancias iguales de todos sus lados. Queda demostrado.
Adicionalmente, el circulo con centro y radio tiene los tres lados del triángulo como tangentes y por lo tanto es el círculo inscrito o incírculo. Llamamos I al incentro y r el inradio.