Mh17 Kalmár László matematikaverseny feladat
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
A feladat
Dominika pirosra festette az ABCD négyzet síkjának azon pontjait, amelyeknek a négyzet középpontjától való távolsága legfeljebb akkora, mint a hozzájuk legközelbb levő négyzet csúcstól való távolsága. A pirosra festett síkrész területe hányadrésze a négyzet területének?
A feladat mértani helyes problémává fogalmazható át:
Mi azon pontok mértani helye az ABCD négyzet síkjában, melyeknek a négyzet középpontjától való távolsága legfeljebb akkora, mint a hozzájuk legközelebb levő négyzet csúcstól való távolságuk?
Segítség
Tanuljuk/tanítjuk, hogy azon pontok mértani helye, melyeknek két ponttól való távolságuk egyenlő a síkban a két pont által meghatározott szakasz felező merőlegese.
4 - háromszög egyenlőtlenség
Ha egy pont nem illeszkedik a szakaszfelező merőlegesre, akkor a szakasz egyik végpontjával a szakaszfelező merőlegesre vonatkozó közös félsíkban van. A fenti bizonyításból következően ettől a ponttól való távolsága kisebb, mint a másik ponttól való távolsága.
A feladat megoldása
1 - Az oldalak felező merőlegesei négy síknegyedre osztják a síkot. Mindegyik negyedben azok a pontok vannak, amelyek a síknegyedben levő négyzetcsúcstól legfeljebb akkora távolságra vannak, mint a többitől.
3 - A középpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felező egyenesei adják meg, amelyek a középponttól legfeljebb akkora távolságra vannak, mint a csúcstól.
A keresett mértani hely a négyzet oldalfelező pontjai által megadott négyszöglap.
2. probléma
Mi azon pontok mértani helye az ABC szabályos háromszög síkjában, melyeknek a szabályos háromszög középpontjától való távolsága legfeljebb akkora, mint a hozzájuk legközelebb levő szabályos háromszög csúcstól való távolságuk?
Megoldás
A keresett mértani hely az adott szabályos háromszöglap középpontra vonatkozó tükörképe.