M3.III.8 L Geometrische (Be-)Deutung des Skalarprodukts
Leitfrage zu Phase 8
Was bedeutet das Skalarprodukt geometrisch?
Betrag eines Vektors
Die Frage nach der Helligkeit einer Farbe in der Deutung des Farbvektors als Pfeil im Farbraum dient im digitalen Arbeitsblatt
M3.III.8a AB Helligkeit einer Farbe
zur Einführung des Betrags eines Vektors.
Die SuS untersuchen zunächst im bereits bekannten Applet zum rgb-Farbwürfel den Zusammenhang zwischen der Länge des Vektorpfeils bzw. dem Abstand des Vektorpunkts zum Ursprung und der Helligkeit der Farbe (je größer die Länge/der Abstand, desto heller die Farbe).
Anschließend wird die Berechnung der Länge des Vektorpfeils im ebenen und anschließend im dreidimensionalen Koordinatensystem entwickelt und mit dem Ergebnis des Skalarprodukts eines Vektors mit sich selbst verglichen.
Darauf aufbauend übertragen die SuS die Berechnung auf den Abstand des Vektorpunkts vom Ursprung.
Schließlich deuten die SuS das Ergebnis sowohl als Länge des Vektorpfeils, als auch als Abstand des Vektorpunkts vom Ursprung.
M3.III.8a AB Helligkeit einer Farbe
zur Einführung des Betrags eines Vektors.
Die SuS untersuchen zunächst im bereits bekannten Applet zum rgb-Farbwürfel den Zusammenhang zwischen der Länge des Vektorpfeils bzw. dem Abstand des Vektorpunkts zum Ursprung und der Helligkeit der Farbe (je größer die Länge/der Abstand, desto heller die Farbe).
Anschließend wird die Berechnung der Länge des Vektorpfeils im ebenen und anschließend im dreidimensionalen Koordinatensystem entwickelt und mit dem Ergebnis des Skalarprodukts eines Vektors mit sich selbst verglichen.
Darauf aufbauend übertragen die SuS die Berechnung auf den Abstand des Vektorpunkts vom Ursprung.
Schließlich deuten die SuS das Ergebnis sowohl als Länge des Vektorpfeils, als auch als Abstand des Vektorpunkts vom Ursprung.
Skalarprodukt geometrisch untersuchen
Im digitalen Arbeitsblatt
M3.III.8b AB Skalarprodukt veranschaulichen
untersuchen die SuS besondere geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts mit der Pfeildeutung von Vektoren durch Erkundung in einem Applet:
M3.III.8b AB Skalarprodukt veranschaulichen
untersuchen die SuS besondere geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts mit der Pfeildeutung von Vektoren durch Erkundung in einem Applet:
- das Skalarprodukt bleibt gleich, wenn beide Vektorpfeile von ihre Länge und Richtung beibehalten, aber im Koordinatensystem verschoben werden
- liegen die Vektorpfeile parallel und in gleicher Richtung, dann gilt
- für parallele, aber entgegengesetzt gerichtete Vektorpfeile gilt
- für Vektorpfeile, die einen Winkel einschließen, gilt
- für Vektorpfeile, die einen Winkel einschließen, gilt
- für Vektorpfeile, die senkrecht zueinander stehen, gilt
Projektsionsvorstellung zum Skalarprodukt aufbauen
Im Kontext des CO2-Preises wird dann im digitalen Arbeitsblatt
M3.III.8c CO2-Emissionsziel
gezielt die Projektionsvorstellung beim Skalarprodukt gefördert. Die SuS untersuchen den Zusammenhang, dass alle Vektoren mit derselben Projektion auf den Vektor dasselbe Ergebnis des Skalarprodukts ergeben.
Im Kontext des rgb-Farbvektors werden darauf aufbauend im digitalen Arbeitsblatt
*M3.III.8d Farben unterscheiden
die Erkenntnisse zur Lage der Pfeile beim Skalarprodukt angewendet, um den Zusammenhang zum eingeschlossenen Winkel zu erarbeiten: .
M3.III.8c CO2-Emissionsziel
gezielt die Projektionsvorstellung beim Skalarprodukt gefördert. Die SuS untersuchen den Zusammenhang, dass alle Vektoren mit derselben Projektion auf den Vektor dasselbe Ergebnis des Skalarprodukts ergeben.
Im Kontext des rgb-Farbvektors werden darauf aufbauend im digitalen Arbeitsblatt
*M3.III.8d Farben unterscheiden
die Erkenntnisse zur Lage der Pfeile beim Skalarprodukt angewendet, um den Zusammenhang zum eingeschlossenen Winkel zu erarbeiten: .
Geometrische Anwendungen von Vektoren
An dieser Stelle sollten Übungen zur geometrischen Deutung von Vektoren behandelt werden.
Eine wichtige Anwendung sind Beweise elementargeometrischer Zusammenhänge aus der Sekundarstufe I.
Dabei werden zunächst anhand von einfacheren Beispielen die Vorgehensweise und geeignete Strategien erarbeitet:
- Satz des Pythagoras
- Quader mit quadratischer Grundfläche: In einem Quader mit quadratischer Grundfläche sind die Raumdiagonale und die Bodendiagonale, die die Raumdiagonale nicht schneidet, orthogonal zueinander.
- Umkehrung Satz des Thales
Zeitbedarf
3-4h + Zeit zum Üben
Übungen
Lambacher Schweizer 2017, S. 225 Aufg. 1, 2; S. 226 Aufg. 3, 7; S. 228 Aufg. 3, 4, 6; S. 233 Aufg. 2, 3
Lambacher Schweizer 2012, S. 119
Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 48-51
Weitere Aufgaben mit GeoGebra-Lernumgebungen sind in dieser Zusammenstellung von Katalin Retterath zu finden.
Anm.: Die Schulbücher o-mathe, Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.