複素数の回転から四元数の回転へ
の軌跡は円を描きます。
座標を複素平面で表示すると となり、オイラーの公式で表されます。
単位円上の点同士の積は回転を表します。
加法定理により
角度の足し算と指数法則がつながります。
XY平面上ではうまく回転が成り立ちます。
三次元への拡張の取っ掛かりとして、試しにZ軸を四元数の に割り当てて を計算してみます。
二次元に付け加えた に位相 が掛かっていることが分かります。 より次のようになります。
座標まで含めると4次元になってしまい3次元にうまくプロットできないため、便宜上 を中心とした周転円（天動説で使われていた概念）としてプロットします。
2次元ベクトル は複素数 で表現できます。
それにZ座標を付け加えて、3次元ベクトル を四元数 で表現します。
※ 四元数では虚部だけを用いて と表現するのが一般的ですが、ここでは複素数からの拡張について考えるため、敢えて としています。
複素数では を掛けることで回転が表現できます。
同じことを四元数に対しても計算します。
Z座標 に位相 が掛かっていることが分かります。 より次のようになります。
座標まで含めると4次元になってしまい3次元にうまくプロットできないため、便宜上 を中心とした周転円（天動説で使われていた概念）としてプロットすると、トーラスに沿った回転として射影できます。
（書きかけ）