Schnitt von Ebene und Pyramide | Didaktische Hinweise

Kurzinformationen

Link zum Material für die Lernenden: https://www.geogebra.org/m/skur4qrr
Kontext: Variation einer alten Abituraufgabe: Schnittgebilde einer Ebenenschar mit einer Pyramide
Qualifikationsphase (LK/eA); Darstellung von Ebenen in Koordinatenform mit Parametern, Bezüge zwischen analytischer Geometrie und Analysis

Leitgedanke zur Aktivität

In dieser Aktivität wird eine alte Abituraufgabe aus NRW (LK, 2015) geöffnet und variiert. Dadurch ergeben sich im Kontext der Koordinatendarstellung von Ebenen verschiedene Lerngelegenheiten zum Zusammenspiel von Geometrie, Algebra, Analysis und digitalen Werkzeugen. Der Kern der Abituraufgabe ist eine durch eine parametrisierte Koordinatenform dargestellte Ebenenschar, die bei Variation so um eine Pyramidenkante rotiert, dass unterschiedliche Schnittgebilde entstehen. Die Lernenden nutzen zunächst GeoGebra um die Aufgabe im MMS darzustellen und zu erkunden (Aktivität 1). Im Anschluss gibt es eine DeepDive in die Rolle die der Parameter für den "Kippwinkel" der Ebene zur xy-Ebene spielt. Dazu werden Wissensbestände zum Normalenvektor und zum Skalarprodukt benutzt um eine funktionale Abhängigkeit zwischen Winkel und Parameter algebraisch zu beschreiben und dann auch graphisch zu Untersuchen (Aktivität 2). Abschließend gibt es verschiedene Vertiefungsmöglichkeiten, die jeweils andere Aspekte der Aufgabe in den Fokus nehmen und damit auch Möglichkeiten zur Differenzierung bieten.

Vorwissen und Voraussetzungen

Die Lernenden können ...

Ebenen bzw. Ebenenscharen in Koordinatenform darstellen,
den Normalenvektor einer Ebene bzw. Ebenenschar aus der Koordinatenform bestimmen,
Winkel in geometrischen Situationen im Raum berechnen.

Beiträge zum inhaltsbezogenen Kompetenzerwerb

Die Lernenden ...

analysieren den Einfluss eines reellwertigen Parameters in einer in Koordinatenform dargestellten Ebenenschar auf die geometrische Lage der zugehörigen Ebenen,
variieren zielgerichtet die Koordinatenform einer Ebene/Ebenenschar um eine bestimmte geometrische Situation zu algebraisch zu beschreiben.
Die Lernenden verwenden digitale Werkzeuge zur
- Darstellung algebraisch beschriebener vektorieller Situationen im Raum
- zielgerichteten Untersuchung vektorieller Situationen in algebraischer und geometrischer Darstellungen, insb. mithilfe des Zugmodus und von Schiebereglern

Didaktische Hinweise

Die Frage danach, was passiert, wenn der absolute Wert auf der rechten Seite der Koordinatenform verändert wird (Antwort: Parallele Geraden, gleicher Normalenvektor) kann beispielsweise als Einführung in die Normalenform benutzt werden.

Schieberegler

Anmerkungen zu Aktivität 1 (Schnitte von Ebenen mit einer Pyramide - Was soll der Parameter?)

Direktlink: https://www.geogebra.org/m/smcpqyhs Hier geht es zunächst darum, im Kontext der Aufgabe anzukommen. Die ersten beiden Aufgaben (Punktprobe, Kopfgeometrie) stammen direkt aus der Abituraufgabe. In der dritten Aufgabe geht es um eine Umsetzung der Aufgabensituation unter Nutzung von GeoGebra als 3D-DGS. (LÖSUNG zur Konstruktion: https://www.geogebra.org/m/maxbeyfq). Dabei finden erste Erkundungen und Reflexionsanlässe zur geometrischen Bedeutung des Parameters statt.

Anmerkungen zu Aktivität 2 (Die Ebenenschar, der Parameter und der Winkel)

Direktlink: https://www.geogebra.org/m/z4bafrca In dieser Aktivität geht es speziell darum die Abhängigkeit zwischen geometrische Lage eines Elementes der Ebenenschar und dem Parameter zu verstehen. Ausgangspunkt für die Überlegung ist eine Schüleräußerung (die tatsächlich aus einer realen Unterrichtssituation stammt): Lynn ist unzufrieden, dass der Parameter die Lage der Ebene nicht gleichmäßig veränder und darüber hinaus auch für betragsmäßig sehr große Parameter keine vertikale Ebene konstruierbar zu sein scheint. Die Lernenden denken sich zunächst unter Verwendung einer halb vorstrukturierten Lernumgebung in das von Lynn umrissene Problem ein. Dabei ist es zentral (als Vorbereitung für eine folgende Winkelberechnung) die Situation um Normalenvektoren zu ergänzen deren geometrische Bedeutung zu verstehen. Darauf aufbauend kann die übliche Formel für die Winkelberechnung über das Skalarprodukt genutzt werden um den Zusammenhang

zu finden. Zentral ist, dass die Lernenden hier eine Möglichkeit haben ihr Wissen über analytische Geometrie mit ihrem Wissen über Analysis zu verknüpfen. Darüber hinaus ist die Funktion hinreichend kompliziert, sodass die Benutzung eines MMS wirklich sinnnvoll ist. Die Aktivität schlägt nun diverse Erkundungen der funktionalen Abhängigkeit vor, die sich alle im Kontext der Grundvorstellungen zum Funktionsbegriff bewegen: Zunächst nutzen die Lernenden das MMS um einzelne Funktionswerte herauszufinden und dann händisch einen Graphen anzunähern (Obacht: Im Idealfall werden auf der Hochachse Gradzahlen aufgetragen). Im Anschluss wird der Funktionsterm berechnet, geplottet und in beiden Darstellungen die von Lynn genannten Eigenschaften identifiziert und reflektiert (Antwort an Lynn). Beispiellösung für die Funktion: Planungsalternativen: An dieser Stelle bieten sich diverse weitere Möglichkeiten an, je nachdem wie viele Verknüpfungen zur Analysis hergestellt werden sollen. So lässt sich bei der Funktion z.B. hervorragend asymptotisches Verhalten und Differenzierbarkeit (Nicht differenzierbar in 0, aber - auch wenn es auf den ersten Blick so scheint - keine bestimmt divergierende Steigung, sondern unterschiedliche rechts- und linksseitige Grenzwerte des Differenzenquotienten) in einem nichttrivialen Kontext und in Verbindung mit einer Auffrischung trigonometrischer Funktionen untersuchen.

Anmerkungen zu Aktivität 3 (Vertiefungsmöglichkeiten)

Direktlink: https://www.geogebra.org/m/zvrgyd56 Zum Abschluss des Lernpfades werden drei Möglichkeiten für anschließende Aufgabenstellungen angeboten. Bei allen Aktivitäten können die vorher erstellten MMS-Umgebungen weiter produktiv genutzt werden.

Vertiefung ♣ (Weiter im Kontext): Hier arbeiten die Lernenden an weiteren Aufgaben zur konkreten Ebenenschar und Schnittgebilden, die eng an die tatsächliche Abituraufgabe angelehnt sind.
Vertiefung ♠ (Variation der Aufgabe): Hier findet eine Variation (Öffnung) der Aufgabe statt. Es gibt verschiedene Problemstellungen zwischen denen die Lernenden wählen können. Der gemeinsame Kern ist, dass die Grundfrage der parametrisierten Ebene und der Konsequenzen für etwaige Schnittgebilde gleich bleibt, nun aber entweder auf geometrischer oder auf algebraischer Ebene die Problemparameter angepasst werden und dann in der jeweils anderen Ebene adaptiert werden müssen.
Vertiefung ♥ (Eine bessere Parametrisierung): Hierbei handelt es sich um eine sehr anspruchsvolle und bewusst offen gestellte Vertiefung bei der es darum geht eine alternative Parametrisierung der Ebenenschar zu finden, bei der sich Änderungen des Parameters gleichmäßig auf Winkeländerungen Übertragen. Ein möglicher Weg ist die Nutzung von Kugelkoordinaten um einen parametrisierten Normalenvektor zu erstellen.

Methodische Hinweise

Idealerweise wechseln sich GeoGebra-Aktivitäten und Unterricht ohne das Werkzeug GeoGebra ab. Die ganze Aktivität ist nicht als reiner Selbstlernpfad angelegt. Um die GeoGebra-Aktivitäten im Klassen-Setting einzusetzen, bietet es sich an, sie als GeoGebra-Classroom-Aktivität (https://www.geogebra.org/m/vexj65n9) zu realisieren.