Projektive Sichtweisen
Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (29.09.2020)
Objekte der projektiven Geometrie sind PUNKTE, GERADEN, EBENEN etc..
Grundlage ist stets ein Vektorraum , in unserem Zusammenhang reell oder komplex;
die Dimensionen liegen hier zwischen 2 und 6.
PUNKTE sind die 1-dimensionalen Unterräume, formal: , ist hier oder .
GERADEN sind die 2-dimensionalen Unterräume, EBENEN die 3-dimensionalen Unterräume.
Oben links wird der angedeutet, also die reelle projektive GERADE.
PUNKTE können in "homogenen" Koordinaten oder "inhomogenen" Koordinaten
beschrieben werden. Dazu schneidet man die Richtungsgeraden der Vektoren mit der -Achsen-Parallelen .
Dabei werden alle PUNKTE der GERADEN bis auf erfasst.
Oben rechts wird versucht, die reelle projektive Ebene über darzustellen.
PUNKTE sind wieder die eindimensionalen Unterräume, GERADEN die 2-dimensionalen.
In dieser Ebene schneiden sich je zwei GERADEN! Und wieder kann man die PUNKTE in homogenen Koordinaten
(- also bis auf reelle Vielfache - ) oder in inhomogenen Koordinaten (x,y,1) angeben.
Im 2. Falle sind die Fern-PUNKTE (u,v,0) auf der Fern-GERADEN auf diese Weise nicht miterfasst!
Der reelle Projektive Raum basiert auf , in inhomogenen Koordinaten (x,y,z,1) hat man sich zum eine
Fern-EBENE, Fern-GERADEN und - PUNKTE zu denken.
Diese projektive Sichtweise ist auch komplex möglich:
Die komplexe projektive GERADE entpuppt sich als eine Darstellung der reellen Möbiusebene!
Die PUNKTE , entsprechen in inhomogenen Koordinaten den Punkten in der
GAUSSschen Zahlenebene. Der fehlende PUNKT ist .
Die Möbiustransformationen sind die linearen Abbildungen mit ;
Da und dieselbe Möbiustransformation erzeugen,
ist die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen isomorph zu .