Teselaciones regulares euclideas

Autor:Rafael Losada Liste

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Teselados regulares euclídeos, elípticos e hiperbólicos. En el libro de GeoGebra La fábrica de teselados se detallan, entre otras teselaciones, las tres únicas regulares en el plano euclídeo:

{3, 6} formada por triángulos equiláteros (p=3) donde q=6 concurren en cada vértice,
{4, 4} formada por cuadrados (p=4) donde q=4 concurren en cada vértice, y
{6, 3} formada por hexágonos regulares (p=6) donde q=3 concurren en cada vértice,

Ahora bien, el procedimiento que allí se usa para visualizar las teselaciones es la copia por traslación, siguiendo el orden de la espiral de Ulam. Lamentablemente, este procedimiento no sirve para otras geometrías no euclídeas. Por ello, hemos de cambiar el método. En esta construcción, las teselas no se crean trasladando la original a distintas zonas del plano, sino que se crean por reflexión. Es decir, la tesela fundamental se refleja en uno de sus lados, la nueva tesela se vuelve a reflejar en uno de sus lados, etc. El proceso sigue realizándose en espiral. En cada paso, la celda de partida (1) se refleja en la recta que contiene a un lado, y la celda obtenida (2) se vuelve a reflejar en el lado que comparte vértice con la celda de partida (1), obteniendo la celda (3), que se vuelve a reflejar... Así hasta que hayan dejado su rastro las q celdas que concurren en ese vértice. Entonces, se pasa al siguiente vértice no completado y se vuelve a repetir el proceso. Atiende a que {3, 6} y {6, 3} son duales, mientras que {4, 4} es autodual. Si q es par (triángulos y cuadrados), la simetría resultante provoca que los lados de cada polígono descansan todos sobre el mismo conjunto de rectas y el número cromático es 2. Si q es impar (hexágonos), se rompe esa simetría, de modo que las líneas que unen los lados ya no son rectas, sino quebradas, y el número cromático es 3. Observa que el orden seguido, en el plano euclídeo, es exactamente el mismo que el empleado en La fábrica de teselados siguiendo la espiral de Ulam. La ventaja, es que este método es fácilmente transportable a la geometría elíptica, sustituyendo "se refleja en la recta que contiene a un lado" por "se refleja en el plano que pasa por el origen y contiene a un lado". Y también a la geometría hiperbólica, sustituyendo "se refleja en la recta que contiene a un lado" por "se refleja en la circunferencia que contiene a un lado". Si observas que la ejecución se ralentiza y tienes instalado GeoGebra, puedes acelerar el proceso descargando el archivo GGB.

Autor de la actividad y construcciones GeoGebra: Rafael Losada.

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